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marie
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Januar, 2000 - 12:45: | 
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wie kann man die asymptote der funktion
f(x)=x2-5X:X-4 finden ? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Januar, 2000 - 14:42: |
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Wenn ich Deinen Text richtig verstehe, handelt es sich um die gebrochene rationale Funktion y = (x^2-5*x) / (x-4),deren Asymptoten zu suchen sind.
Es gibt deren zwei ,eine vertikale (parallel zur y-Achse ) und eine schiefe.
x = 4 ist eine Nullstelle des Nenners; da der Zähler an dieser Stelle nicht null ist, liegt
bei x = 4 eine Polstelle (Unendlichkeitsstelle) der Funktion vor, somit ist x = 4 zugleich
die Gleichung der vertikalen Asymptote.
Wir ermitteln den Quotienten t = y/x aus der Funktionsgleichung.. Wir erhalten
t = (x-5) / (x-4) .Für x gegen Unendlich strebt t gegen 1 wie man leicht erkennt.
Dieser Grenzwert 1 ist die Steigung m der gesuchten schiefen Asymptote g.
Für ihre Gleichung machen wir den Ansatz y = m * x + q , also y = x + q. Es gilt jetzt, q zu bestimmen Wir schneiden die gegebene Kurve mit der Geraden g . Gleichsetzung der y-Werte ergibt: x + q = (x^2-5*x) / (x-4);daraus nach gehöriger Vereinfachung: q = -x/(x-4) Um q für die schiefe Asymptote zu erhalten ,müssen wir den Grenzwert von q für x gegen Unendlich bestimmen : wir sehen sofort: q strebt gegen - 1. Daher ist y = x - 1 die Gleichung der schiefen Asymptote.
Bei der gegeben Kurve handelt es sich übrigens um eine gedrehte Hyperbel mit dem Mittelpunkt M( 4 / 3 ) , dem Schnittpunkt der beiden Asymptoten.
Mit freundlichen Grüßen H.R |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Januar, 2000 - 23:00: |
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Hallo marie, hallo H.R.,
reicht für den Hausgebrauch zur Ermittlung der Asymptote nicht die Polynomdivision? Der entstehende Rest konvergiert gegen 0, wenn x gegen unendlich geht, somit kommt man auf das gleiche Ergebnis wie H.R.Moser (megamath).
Übrigens heißt die senkrechte Asymptote oft "Polgerade".
Muchos grussos
XXFuzzylogikXX |
H.R.Moser,Megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Januar, 2000 - 11:45: |
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An Fuzzylogik,
Deine Bemerkung betr. "Hausgebrauch" ist sicher zutreffend, soweit es sich um gebrochene rationale Funktionen handelt. So habe ich gerade vor kurzem bei der Lösung einer andern Aufgabe (siehe dieses) die Methode der Polynomdivision verwendet Bei der Lösung der vorliegenden Aufgabe legte ich Wert darauf, dass die Methode des Ansatzes mit der Geradengleichung y = m*x + q und der Ermittlung von m und q als Grenzwerte zum Zuge kommt und dadurch nicht in Vergessenheit gerät. Bei anderen Funktionen hingegen (z.B .bei transzendenten Funktionen) kommt man nur mit dem letztern Ansatz zum Ziel, mit der Polynomdivision heisst es jedoch hier "Feierabend" !
Tambien muchos grussos ! H.R |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. November, 2000 - 10:47: |
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Hallo H.R.Moser,
bei Revision meiner Unterlagen stieß ich auf einen Ausdruck dieses Beitrages. Zwar kann ich den oben beschriebenen Weg rechnerisch nachvollziehen, würde Dich jedoch bitten, ein interessantes Beispiel für die Asymptotenermittlung einer transzendenten Funktion mit Hilfe Deines Lösungsweges zu geben (keine Winkelfunktionen). Meine eigenen Beispiele waren leider nicht so aufschlussreich.
Die Asymptotenbestimmung mit der Polynomdivision halte ich deshalb für durchaus interessant, weil man die Methode verfolgt, die Funktion in einzelne Bestandteile zu zerlegen, die einzeln auf Konvergenz untersucht werden können. Diese Zerlegung der Funktion (unter Zuhilfenahme der Grenzwertsätze) dürfte doch auch bei transzendenten Funktionen hilfreich sein, wenngleich die Zerlegung sicherlich nicht per Polynomdivision funktioniert. Die nicht gegen 0 kovergierenden Elemente sollen dann die Funktionsgleichung der Asymptoten bilden.
Viele Grüße
Fuzzylogik |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 07:16: |
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Hi Fuzzylogik,
Besten Dank für Deinen interessanten Beitrag.
Gerne gebe ich Beispiele zum Problem der
Ermittlung schiefer Asymptoten.
Die ersten beiden betreffen algebraische Kurven
zweiter und dritter Ordnung, beim dritten Beispiel
handelt es sich wunschgemäss um eine nicht allzu
komplizierte transzendente Funktion, die einiges
hergibt
Zur Kontrolle sind die Resultate in der Lieferung
enthalten, nicht aber detaillierte Herleitungen.
1.
9 * x ^ 2 - 4 * y ^ 2 - 5 * x + 2 * y + 1 = 0
Zwei Asymptoten:
a1: y = 3 / 2 * x - 1 / 6 , a2: y = - 3 / 2 * x + 2 / 3
2:
6 * x ^ 3 - 7 * x ^ 2 * y + y ^ 3 + 20 * x ^ 2 + y - 3 = 0
Drei Asymptoten:
a1: y = x + 5 , a2: y = 2* x - 4 , a3: y= - 3* x - 1 .
3.
y = abs (x) + 2 * arc tan (x )
abs (x) bedeutet wie z.B. bei "Maple V" absoluter Betrag von x .
Zwei Asymptoten:
a1 : y = x + Pi , a2 : y = - x - Pi .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 11:03: |
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Hallo H.R.Moser,
vielen Dank für die Beispiele. Mittlerweile wurde auch der sachliche Zusammenhang bei Deiner Vorgehensweise klar, der denke ich darauf beruht, dass bei x=+- unendlich die Asymptote gleich der Funktion ist. Diese Vorgehensweise ist wirklich nicht schlecht. Man müsste, glaube ich, ansonsten transzendente Ausdrücke mit Hilfe der Taylorreihe in Polynome umwandeln, und das ist ja einerseits mit etwas mehr Arbeit verbunden und andererseits auch mit einem gewissen Fehler.
Viele Grüße
Fuzzylogik |
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