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anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 19:33: | 
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Wer ist so nett und erklärt mir bitte diese drei Aufgaben???
1. x² - 3x + 4 = 0
2. 1/4x² + 2/27x + 1/4 = 0
3. -2x² + 4x + 3 = 0
Mein Problem ist nun, das ich nicht mehr weiss wie das mit der quadratischen Ergänzung geht. Zudem weiss ich nicht, wie das mit den Brüchen zu rechnen ist. Ich weiss nur, das man 1/4, -2 ausklammern muss.
Meine Ansätze:
zu 1. x² + 3x + 4 = 0
= x² + 3x + ? - ? + 4 = 0
zu 2. da weiss ich nicht wie man die Nullstellen mit der p/q Formel rechnen soll, wegen der Brüche und wie die quadratische Ergänzung gehen soll.
zu 3. -2 [ x² -2x - 3/2]
-2 [ x² -2x + ? - ? - 3/2 ]
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand hierbei behilflich sein kann, da ich echt alles probiert hab und immer noch nicht drauf gekommen bin. Vielen, vielen Dank im vorraus. |
thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 23:24: |
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Das geht so:
Ganz allgemein gilt erst mal das für beliebige reelle Zahlen X, p (selber nachrechnen!):
(X + p/2)*(X + p/2) = X*X + p*X + p*p/4.
Du sollst
X*X + p*X + q = 0 lösen.
Dazu benutzen wir obige Formel und stellen sie um:
X*X + p*X = (X + p/2)*(X + p/2) - p*p/4
und setzen die erhaltene rechte Seite in der zu
lösenden Gleichung für X*X + p*X ein:
(X + p/2)*(X + p/2) - p*p/4 + q = 0
(X + p/2)*(X + p/2) = p*p/4 - q
X + p/2 = +- SQAREROOT(p*p/4 - q)
X1/2 = -p/2 +- SQUAREROOT(p*p/4 - q)
(SQUAREROOT = Quadratwurzel).
Ist die zu lösende Gleichung als
ax*x + b*x + c = d gegeben, so erst durch
a teilen:
x*x + b/a*x + c/a = d/a, d/a subtrahieren:
x*x + b/a*x + c/a - d/a = d/a - d/a = 0.
dann ist p = b/a
q = (c - d)/a
Konkret: 2.Teile durch 1/4, d.h. multipliziere
die Gleichung mit 4:
x*x + 8/27*x + 1 = 0. p = 8/27 = 2*2*2/3*3*3
q = 1
3. Durch -2 teilen! |
lnexp
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 03:55: |
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Hallo anonym
Deine Fragezeichen ergeben sich so:
teile die Zahl, die "vor dem x" steht (den Koeffizienten von x) durch 2 und quadriere sie dann (aber vorher ausklammern, wie Du sagst).
Im Beispiel 1) muss man nicht ausklammern; vor dem x steht die Zahl -3; halbiert ist das -3/2 und das quadriert 9/4
also
x2 - 3x + 9/4 - 9/4 + 4 = 0
( x - 3/2 )2 -9/4 + 16/4 = 0
( x - 3/2 )2 = -7/4 : keine Lösung
Im Beispiel 2) muss man vorher ausklammern:
1/4x2 + 2/27x + 1/4 = 0
1/4(x2+8/27x + (4/27)2 - (4/27)2) + 1/4 = 0
(ob Du die Zahl 1/4 mit ausklammerst oder nicht bleibt Dir überlassen; ich tus nie)
1/4( x + 4/27 )2 - 1/4*16/729 + 1/4 = 0
wieder keine Lösung
Beispiel 3):
-2 [ x2 -2x + (-1)2 - (-1)2 - 3/2 ] = -2 [ x2 -2x + 1 - 1 - 3/2 ] = -2 [ (x2 -2x + 1) - 5/2 ] = -2 ( x - 1 )2 - 2*(-5/2) = -2 ( x - 1 )2 + 5
Diese Parabel ist also nach unten geöffnet, enger (gestreckt umden Faktor 2) und hat ihren Scheitel (Hochpunkt) bei S=H(1|5)
Die quadratische Ergänzung dient ja nicht nur zur Bestimmung von Nullstellen quadratischer Gleichungen (also der Herleitung der Mitternachtsformel), sondern auch zur Scheitelbestimmung von Parabeln (zweiter Ordnung, zweiten Grades).
Diesmal gibt es also Nullstellen bzw. Lösungen der Gleichung
-2x2 + 4x + 3 = 0 bzw.
-2 ( x - 1 )2 + 5 = 0 |-5
-2 ( x - 1 )2 = -5 |: (-2)
( x - 1 )2 = 5/2 |Ö(.)
x - 1 = ± Ö(5/2) |+1
x1;2 = 1 ± Ö(5/2) = 1 ± (1/2)*Ö(10)
x1 @ -0,5811
x2 @ 2,5811
cu
lnexp |
lnexp
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 04:00: |
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Warum ist das so mit dem durch 2 teilen und quadrieren?
Das 1. Binom lautet
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Mit a=x ergibt sich andersrum geschrieben
x2 + 2bx + b2 = ( x + b )2
Der Ausdruck oder Term oder Koeffizient vor dem x ist 2b; daher ist b die Hälfte davon, und diese Hälfte (2b)/2 = b muss quadriert (b2) dahinter stehen, um ein Binom zu erhalten.
ciao
lnexp |
anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 10:27: |
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Vielen Dank für eure Hilfe. Vieles wird mir jetzt klarer. Trotzdém hab ich noch ein paar Fragen dazu:
1. in der Zeile 2, (x - 3/2)² -9/4 +16/4 = 0
Warum heisst es denn -3/2 ??? Und wie komm ich darauf?
2.auch Zeile 2,
1/4 ( x + 4/27)² - 1/4 * 16/729 + 1/4 = 0
Wieso schreibt man in der Klammer 4/27, wie kommt man darauf??? Und warum heisst es -1/4 * 16/729??? Was hat die -1/4 da zu suchen???
3.Warum heisst es da in der vorletzten Zeile
-2 (x -1)² -2 * (-5/2)
Wieso heisst es -2 * (-5/2)?
Sorry´, das ich eure Nerven strapazier mit so dummen Fragen, aber ich hab da echt Probleme. Könnt ihr mir vielleicht nochmals helfen??? |
anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 14:22: |
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Bitte, bitte erklärt mir das jemand!!! Wäre super nett. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. August, 2001 - 00:44: |
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zu 1.)
Die -3/2 ist die durch 2 geteilte Zahl, die vor dem x steht, und das war doch die Zahl -3
Das 2. Binom lautet
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Mit a=x ergibt sich andersrum geschrieben
x2 - 2bx + b2 = ( x - b )2
Der Ausdruck oder Term oder Koeffizient vor dem x ist -2b; daher ist -b die Hälfte davon, und diese Hälfte (-2b)/2 = -b muss quadriert , also (-b)2 dahinter stehen, um ein Binom zu erhalten.
2. 4/27 ist die Hälfte von 8/27; die Erklärung für die Hälfte (halbierte, durch 2 geteilte Zahl) steht doch da!
-(4/27)2=-16/729
Da man diese Zahl noch aus der Klammer ausmultipliziert ( es steht doch1/4 ganz links vor der Klammer) kommt (1/4)*(-16/729) = (-1/4)*16/729 nach aussen hinter die Klammer.
zu 3.)
Da ist es genau das gleiche!
cu
lnexp |
anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. August, 2001 - 05:20: |
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Danke für die Hilfe habs jetzt verstanden. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. August, 2001 - 15:15: |
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Das freut mich; ciao anonym |
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