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Beitrag |
    
Jhonen (Jhonen)
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. August, 2001 - 21:06: | 
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Also, das Thema ist ANalysis wenn ich mich recht entsinne.
Hier ist eine Aufgabe:
Ein Farmer will Land am Rand eines geraden Kanals einzäunen. Er hat 600m Zaun, was wäre die maximale rechteckicge Fläche, die er einzäunen könnte?
Bitte erklärt mir wie es geht! |
Raz (Raz)
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. August, 2001 - 21:21: |
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Meiner Ansicht nach ist ein Quadrat die beste Fläche.
MfG
Ralph |
Lnexp (Lnexp)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. August, 2001 - 01:44: |
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Da er die eine Seite des Rechtecks nicht einzäunen muss, da sie vom Kanal begrenzt wird:
Der Umfang setzt sich also aus U = 2a + b = 600 zusammen. Also gilt b = 600 - 2a.
Für die Fläche des Rechtecks gilt dann
A(a)= a*b = a*(600 - 2a) = 600a - 2a2
1) Entweder ergänzt man quadratisch:
A(a) = -2a2 + 600a = -2*(a2 - 300a) = -2*(a2 - 300a + 22500 - 22500) = -2*(a2 - 300a + 22500) + 45000 = -2*(a - 150)2 + 45000
Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel (Hochpunkt!) bei H(150|45000).
Die grösste Fläche ergibt sich also für a = 150 und b = 600 - 2a = 600 - 300 = 300 (also kein Quadrat) mit dem Flächeninhalt Amax = 45000
[Das Quadrat mit der Seitenlänge a=b=200 hat nur die Fläche A=40000;: man beachte, dass man nur 3 Seiten mit dem Zaun eingrenzen muss; die vierte wird ja vom Kanal begrenzt!]
2) Oder man leitet A(a) ab:
A(a) = -2a2 + 600a
A'(a) = -4a + 600
A''(a) = -4
A'(a) = 0 Þ -4a + 600 = 0 Þ -4a = -600 Þ a = 150
A''(150) = -4 < 0 Þ Maximum bei a = 150
A(150) = -2*1502 + 600*150 = -45000 + 90000 = 45000
Die Seite b ist dann wieder 300 lang.
ciao
lnexp@emath.de |
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