| Autor |
Beitrag |
    
Miriam
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Januar, 2000 - 09:04: | 
|
Hallo, wer hat Spass daran solche Aufgaben zu loesen?
Widerlege oder beweise:
a) g o f surjektiv => f surjektiv
b) g o f surjektiv => g surjektiv
c) g o f injektiv => f injektiv
d) f o g injektiv => g o f injektiv
Waer nett wenn sich irgendjemand bis Sonntag daran versuchen wuerde.
Vielen Dank
Miriam |
ruediger
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Januar, 2000 - 13:43: |
|
was sind f und g ??
wohl Abbildungen !!!
Nur zwischen was ??
Mengen, Räumen, Gruppen oder was ??
Oder kannst Du das frei konstruieren ?? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Januar, 2000 - 15:17: |
|
f und g sind Funktionen. Sei f:K->L, g:L->M. (Nur dann ist die Aufgabenstellung sinnvoll.) Setze h = g o f. Bei d) gilt K = M, damit die Aufgabe sinnvoll.
a) Falsch! Gegenbeispiel: Setze K = L = {0,1}, M = {0}.
Definiere f durch f(0) = f(1) = 0 und g durch g(0) = g(1) = 0. Dann ist h, aber nicht f surjektiv.
b) Richtig! Beweis: Sei z aus M. Zeige: Es gibt ein y aus L mit g(y) = z. Da h surjektiv, gibt es ein x aus K mit h(x) = z. Setze y = f(x). Dann ist g(y) = g(f(x)) = h(x) = z.
c) Richtig! Beweis: Seien x1, x2 aus K mit f(x1) = f(x2). Zeige: x1 = x2. Es ist h(x1) = g(f(x1)) = g(f(x2)) = h(x2). Da h injektiv, folgt x1 = x2.
d) Falsch! (Für endliche Mengen richtig!) Gegenbeispiel: Setze K = {0,1,2,...}, L = {-1,0,1,2,...}, f(x) = |x|, g(x) = x+1. Dann f(g((x)) = |x+1| = x+1 injektiv; g(f(x)) = |x|+1 nicht injektiv, da g(f(-1)) = g(f(1)). |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Januar, 2000 - 20:43: |
|
Meiner Meinung nach müßte es für die ersten drei reichen,wenn f(K)cL ist.Auch dann wäre die Verkettung gof sinnvoll und was die Sache interessanter macht : b) wird dadurch falsch
f:IR->IR+,x->ex , g:IR->IR,x->x2
g ist nicht surjektiv,aber gof:IR->IR+,x->e2x.
Oder habe ich da was übersehen ?? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Januar, 2000 - 21:26: |
|
Hi Ingo,
für die ersten drei Aufgaben reicht f:K->L, g:N->M mit L Teilmenge von N.
Und du hast Recht, eigentlich reicht schon f[K] Teilmenge von N, um sinnvoll gof zu definieren.
Denn mengentheoretisch ist eine "Funktion" f:K->L eine Menge von Paaren (x,y) aus K x L mit folgender Eigenschaft
(x,y1),(x,y2) aus f => y1 = y2.
Aber, wenn man von "Surjektivität" spricht, muss man immer auch den Bildbereich angeben, denn sonst wäre ja JEDE Funktion k:X->Y surjektiv, nämlich als Abbildung k:X->k[X].
Insofern ist die Aufgabenstellung unpräzise! Bei (b) müsste es lauten:
"Beweise oder widerlege: Ist f:K->L, g:N->M, f[K] eine Teilmenge von N, h=gof:K->M und h surjektiv, dann ist g surjektiv." |
|
