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Beitrag |
    
Sylvie
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 20:38: | 
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Hallo Ihr,
kann mir jemand von Euch bei der Lösung dieser Aufgabe helfen und mir die Rechnenwege
erklären?
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^4 - 30x³ + 336x² -1666x + 3087
a) Gib die Steigung der Kurve im Wendepunkt und die Gleichung der Wendetangente an
b) Berechne die Extremwerte.
c) Berechne die Nullstellen von f(x)
Danke und einen schönen Mittwochabend noch
Sylvie |
Maduso
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 03:27: |
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a)
f'(x) = 4x3 - 90x2 + 672x - 1666
f''(x) = 12 x2 - 180x + 672
f''(x)=0 ergibt x1=7 und x2=8
Eine Parabel 2.-ten Grades mit 2 Nullstellen hat dort immer einen Vorzeichenwechsel, also sind da Wendepunkte
Die Frage nach "im Wendepunkt" kann also nicht sein, da es zwei gibt.
Die Steigung in Wendepunkt bei x=7 ist 0 (ein sogenannter Sattelpunkt); die Steigung bei x=8 ist
f'(8) = -2
Da der Wendepunkt bei x=7 gleichzeitig Nullstelle mit waagrechter Tangente ist ( f(7)=0 , f '(7)=0 , bitte nachprüfen ; das war vom Aufgabensteller beabsichtigt ), kann man (x-7) aus f (x) rausteilen bzw gleich (x-7)2=x2-14x+49
http://www.emath.de/Mathe-Tools/setupfkt.exe
Dort gibtst Du
x^4-30*x^3+336*x^2-1666*x+3087
als Funktion ein.
cu |
Sylvie
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. August, 2001 - 20:04: |
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Huhu, ich bins noch mal.
Kann mir nocheinmal jemand von Euch erklären, was der Vorzeichenwechsel bei den Wendepunkten zu sagen hat?
Und wenn mir jemand erklären könnte, wie ich (x-7) aus f (x) rausteilen kann (Rechenweg) wäre das supernett.
Danke und ein schönes Wochenende noch
Sylvie |
Fliessie (Fliessie)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. August, 2001 - 00:33: |
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Hallöschen
1. für die existenz von wendepunkten müssen 2 bedingungen erfüllt sein :
a) die 2. ableitung ist null ( f´´(x)=0 )
b) die 3. ableitung ist nicht null
durch die bedingung a) hat maduso die x-werte 7 und 8 herausbekommen
diese werte setzt du nun in die 3. ableitung ein :
f´´´(x) = 24x-180 ein
f´´´(7) = -12
f´´´(8) = 12
damit hast du auch die wendepunkte überprüft
2. teile
(x^4-30x^3+336x^2-1666x+3087)
mit polinomdivision durch (x-7)
und du erhälst
x^3-23x^2+175x-441 das teilst du nochmal mit polinomdivision durch (x-7)
und du erhälst x^2-16x+63
das kannst du mit der pq-formel lösen
der 3. wert ist 7 der 4. wert 9
das bedeutet:
(x^4-30x^3+336x^2-1666x+3087)= (x-7)^3*(x-9)
und
(x-7)^3*(x-9)=0 ergibt die nullstellen (7/0) und (9/0)
die komplette rechnung mit der polinomdivision hier aufzuschreiben ist sehr langwierig und unübersichtlich...ich hoffe du kannst etwas mit den zwischenergebnissen anfangen...
grüße fliessie |
Niels
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. August, 2001 - 11:30: |
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Hallo Sylvie,
Wenn dir Polynomdivision keinen spaß macht und du deinen Lehrer verblüffen willst kannst du mal für die Nullstellenberechnung diese "Rechnung" anschauen und versuchen zu verstehen:
x4-30x³+336x²-1666x+3087=0
x4-30x³=-336x²+1666x-3087
Ansatz:
(x²+Gx+H)²=x4+2Gx³+(G²+2H)x²+2GHx+H²
2G=-30
G=-15
(x²-15x+H)²=x4-30x³+(225+2H)x²-30Hx+H²
(x²-15x+H)²=-336x²+1666x-3087+(225+2H)x²-30Hx+H²
(x²-15x+H)²=(2H-111)x²+(1666-30H)x+(H²-3087)
Res:
(1666-30H)²=4*(2H-111)*(H²-3087)
2775556-99960H+900H²=8H³-24696H-444H²+1370628
8H³-1344H²+75264H-1404928=0
sub:2H=z
z³-336z²+37632z-1404928=0....|*27
27z³-9072z²+1016064z-37933056
27z³-9072z²=-1016064z+37933056
Ansatz:
(s+t)³=s³+3s²t+3st²+³
s³=27z³
s=3z
27t=-9072
t=-336
(3z-336)³=27z³-9072z²+1016064z-37933056
(3z-336)³=-1016064z+37933056+1016064z-37933056
(3z-336)³=0
3z-336=0
z=112
Die anderen beiden z-Werte währen ebenfals durch Polynomdivision ausrechenbar;Da sie aber ebenfals jeweils als Lösung z=112 besitzen ist ihre Berechnung in diesem Fall irrelewant.
(x²-15x+56)²=x²-14x+49
(x²-15x+56)²=(x-7)²
Gleichung1:
x²-16x+63=0
x1=9 x2=7
Gleichung2:
x²-14x+49=0
x3=7 x4=7
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Viele Grüße
Niels |
Sylvie
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. August, 2001 - 14:07: |
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Hallo Ihr,
Hallo Niels, deinen Weg habe ich leider nicht verstanden aber vielen Dank für die Mühe.
Das von Fliessie habe ich aber verstanden.
Ich habe die Lösung:
a) y = -2x+15
b) Minimum bei (8,5 ; -1,6875)
c) Nullstellen bei x=7 und x=9
Vielen Dank nochmal,
auch an Maduso und schönes WE |
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