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Konvergenz

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Folgen und Reihen » Konvergenz « Zurück Vor »

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Gothe (Clara999)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 18:15:   Beitrag drucken

Ich soll folgende Aufgaben mit Hilfe der Definition auf Konvergenz untersuchen:
A) an= 1/Wurzel aus n+1
B) bn= n²+1/3n²+7
Ich komm damit überhaupt nicht klar.
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Thomaspreu (Thomaspreu)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 19:29:   Beitrag drucken

A) an+1-an=1/Ö(n+2)-1/Ö(n+1)=
(Ö(n+1)-Ö(n+2))/(Ö(n+2)*Ö(n+1))
lim (Ö(n+1)-Ö(n+2))/(Ö(n+2)*Ö(n+1))=
n®¥
Ö(lim ((Ö(n+1)-Ö(n+2))/(Ö(n+2)*Ö(n+1)))2)=
__n®¥
Ö(lim ((Ö(n+1)-Ö(n+2))/(Ö(n+2)*Ö(n+1)))2)=
__n®¥
Ö(lim (1/(n+2)-1/(Ö(n+2)*Ö(n+1))+1/(n+1)))=
__n®¥
Ö(lim (1/(n+2))-lim(1/(Ö(n+2)*Ö(n+1)))+lim(1/(n+1))))=
__n®¥________n®¥_________________n®¥
Ö(lim (1/(n+2))-Ö(lim(1/((n+2)*(n+1))))+lim(1/(n+1))))=
__n®¥__________n®¥________________n®¥
Ö(0-Ö(0)+0)=0
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superknowa
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 19:37:   Beitrag drucken

Du hast Da im Mittelteil eine zwei vergessen (ab der Zeile, wo Du innen das Binom ausführst).
Aber am Ergebnis ändert sich nix.

ciao
superknowa
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lnexp
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 19:51:   Beitrag drucken

Die Definition für die Konvergenz einer Zahlenfolge lautet bei euch hoffentlich auch so ähnlich:

Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert g genau dann, wenn es für
jedes (noch so kleine) e > 0 eine natürliche Zahl n0 gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen n ³ n0 gilt:

| an - g | < e


Man vermutet ja schwer, dass für an=1/Ö(n+1) der Grenzwert g = 0 ist:

| 1/Ö(n+1) - 0 | < e

Die Null darf man weglassen und den Betrag auch, da die Wurzel stets positiv ist:

(0<) 1/Ö(n+1) < e | (.)2
1/(n+1) < e2 | *(n+1)/e2
1/e2 < n+1
Durch Andersherumlesen der Ungleichung also
n+1 > 1/e2 | -1
n > 1/e2 - 1

Für jedes vorgegebene e > 0 wählt man also die Zahl n0 so, dass sie größer als 1/e2 - 1 ist (so eine natürliche Zahl gibt es immer, Satz des Archimedes).

cu
lnexp
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lnexp
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 20:01:   Beitrag drucken

Bei

bn = n2 + 1/(3n2) + 7

stellt man fest, dass für jede natürliche Zahl n gilt:

bn > n2 ³ n
also
bn > n

Jetzt findet man für jede beliebige Zahl g (Kandidat für den Grenzwert) ein e:=1 > 0, so dass für jedes n0 ein n ³ n0 existiert mit

| bn-g | > | n - g | > e=1
(die Betragsstriche darf man auch weglassen !).
Man wählt einfach n größer als das Maximum von n0 und g+1

Die Folge ist ausserdem unbeschränkt und kann daher nicht konvergieren.

cu
lnexp
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Thomaspreu (Thomaspreu)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 20:05:   Beitrag drucken

B) ((n+1)2+1)/(3*(n+1)2+7)-(n2+1)/(3*n2+7)=
(n2+2*n+2)/(3*n2+6*n+10)-(n2+1)/(3*n2+7)=
(n2+2*n+10/3-4/3)/(3*n2+6*n+10)-(n2+7/3-4/3)/(3*n2+7)=
1/3-4/3/(3*n2+6*n+10)-1/3+4/3/(3*n2+7)=
4/3/(3*n2+7)-4/3/(3*n2+6*n+10)=
4/3*((3*n2+6*n+10)-(3*n2+7)/((3*n2+6*n+10)*(3*n2+7)))=
4/3*(6*n+3)/((3*n2+6*n+10)*(3*n2+7)))=
4*(2*n+1)/((3*n2+6*n+10)*(3*n2+7)))

lim(4*(2*n+1)/((3*n2+6*n+10)*(3*n2+7))))= "la'hospital"
n®¥
4*lim(2/(36*n3+54*n2+102*n+42))=
__n®¥
4*lim(1/(18*n3+27*n2+51*n+21))=
__n®¥
4*lim(1/n3*1/(18+27/n+51/(n2)+21/(n3)))=
__n®¥
4*lim(1/n3)*lim(1/(18+27/n+51/(n2)+21/(n3)))=
__n®¥_-----_n®¥
4*lim(1/n3)*(1/(lim(18)+lim(27/n)+lim(51/(n2))+lim(21/(n3))))=
__n®¥________n®¥___n®¥_____n®¥_______n®¥
4*0*(1/(18+0+0+0))=4*0/18=0
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Thomaspreu (Thomaspreu)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 20:11:   Beitrag drucken

Ich hab nur die Konvergenz untersucht; nicht die Konvergenz gegen einen bestimmten Grenzwert.
Nach dem Satz: Eine Folge ist dann konvergent, wenn die Differenz zweier unmittelbar aufeinander folgender Folgeglieder gegen 0 strebt (für "n" gegen ¥). Das hab ich bewiesen.
Natürlich ist dein Weg bei A wesentlich eleganter, aber mir fiel nix besseres ein.
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superknowa
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 01:41:   Beitrag drucken

Mir fiel folgender Satz bei der Frage auf:

"Ich soll folgende Aufgaben mit Hilfe der Definition auf Konvergenz untersuchen ..."

Deswegen habe ich versucht, dem Fragenden das sozusagen so zu sagen.

;-) superknowa
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superknowa
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 01:51:   Beitrag drucken

Nach dem Satz: Eine Folge ist dann konvergent, wenn die Differenz zweier unmittelbar aufeinander folgender
Folgeglieder gegen 0 strebt (für "n" gegen oo).

an = ln(n)

Differenz zweier unmittelbar aufeinander folgenden Folgenglieder ist

an+1 - an = ln(n+1) - ln(n) = ln[(n+1)/n] ® 0 für n ® oo

Aber an = ln (n} ® +oo :

Dieser Satz ist offenbar falsch
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lnexp
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 02:20:   Beitrag drucken

Ich hab die Aufagbe b) falsch verstanden, tut leid.

Soll wohl heissen

bn = (n2+1) / (3n2+7)

Ein kleiner Trick:

bn = (n2+1) / (3n2+7) =
___= 3*(n2+1) / [ 3*(3n2+7)] =
___= (3n2+3) / [3*(3n2+7)] =
___= (3n2+7-4) / [3*(3n2+7)] =
___= (3n2+7) / [3*(3n2+7)] - 4 / [3*(3n2+7)] =
___= 1/3 - 4 / [3*(3n2+7)]

Die Folge geht also wohl gegen g = 1/3, da für große n der Ausdruck 4 / [3*(3n2+7)] gegn Null geht.

| bn - 1/3 | = | - 4 / [3*(3n2+7)] | = 4 / [3*(3n2+7)] < 1 / (3n2+7) < 1 / (3n2) £ 1 / (3n) < 1 / n < e

1 / n < e führt auf

n > 1 / e

Also muss man n0 nur größer als 1 / e wählen.

cu
lnexp

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