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Gothe (Clara999)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 18:15: |
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Ich soll folgende Aufgaben mit Hilfe der Definition auf Konvergenz untersuchen: A) an= 1/Wurzel aus n+1 B) bn= n²+1/3n²+7 Ich komm damit überhaupt nicht klar. |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 19:29: |
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A) an+1-an=1/Ö(n+2)-1/Ö(n+1)= (Ö(n+1)-Ö(n+2))/(Ö(n+2)*Ö(n+1)) lim (Ö(n+1)-Ö(n+2))/(Ö(n+2)*Ö(n+1))= n®¥ Ö(lim ((Ö(n+1)-Ö(n+2))/(Ö(n+2)*Ö(n+1)))2)= __n®¥ Ö(lim ((Ö(n+1)-Ö(n+2))/(Ö(n+2)*Ö(n+1)))2)= __n®¥ Ö(lim (1/(n+2)-1/(Ö(n+2)*Ö(n+1))+1/(n+1)))= __n®¥ Ö(lim (1/(n+2))-lim(1/(Ö(n+2)*Ö(n+1)))+lim(1/(n+1))))= __n®¥________n®¥_________________n®¥ Ö(lim (1/(n+2))-Ö(lim(1/((n+2)*(n+1))))+lim(1/(n+1))))= __n®¥__________n®¥________________n®¥ Ö(0-Ö(0)+0)=0 |
superknowa
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 19:37: |
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Du hast Da im Mittelteil eine zwei vergessen (ab der Zeile, wo Du innen das Binom ausführst). Aber am Ergebnis ändert sich nix. ciao superknowa |
lnexp
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 19:51: |
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Die Definition für die Konvergenz einer Zahlenfolge lautet bei euch hoffentlich auch so ähnlich: Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert g genau dann, wenn es für jedes (noch so kleine) e > 0 eine natürliche Zahl n0 gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen n ³ n0 gilt: | an - g | < e Man vermutet ja schwer, dass für an=1/Ö(n+1) der Grenzwert g = 0 ist: | 1/Ö(n+1) - 0 | < e Die Null darf man weglassen und den Betrag auch, da die Wurzel stets positiv ist: (0<) 1/Ö(n+1) < e | (.)2 1/(n+1) < e2 | *(n+1)/e2 1/e2 < n+1 Durch Andersherumlesen der Ungleichung also n+1 > 1/e2 | -1 n > 1/e2 - 1 Für jedes vorgegebene e > 0 wählt man also die Zahl n0 so, dass sie größer als 1/e2 - 1 ist (so eine natürliche Zahl gibt es immer, Satz des Archimedes). cu lnexp |
lnexp
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 20:01: |
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Bei bn = n2 + 1/(3n2) + 7 stellt man fest, dass für jede natürliche Zahl n gilt: bn > n2 ³ n also bn > n Jetzt findet man für jede beliebige Zahl g (Kandidat für den Grenzwert) ein e:=1 > 0, so dass für jedes n0 ein n ³ n0 existiert mit | bn-g | > | n - g | > e=1 (die Betragsstriche darf man auch weglassen !). Man wählt einfach n größer als das Maximum von n0 und g+1 Die Folge ist ausserdem unbeschränkt und kann daher nicht konvergieren. cu lnexp |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 20:05: |
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B) ((n+1)2+1)/(3*(n+1)2+7)-(n2+1)/(3*n2+7)= (n2+2*n+2)/(3*n2+6*n+10)-(n2+1)/(3*n2+7)= (n2+2*n+10/3-4/3)/(3*n2+6*n+10)-(n2+7/3-4/3)/(3*n2+7)= 1/3-4/3/(3*n2+6*n+10)-1/3+4/3/(3*n2+7)= 4/3/(3*n2+7)-4/3/(3*n2+6*n+10)= 4/3*((3*n2+6*n+10)-(3*n2+7)/((3*n2+6*n+10)*(3*n2+7)))= 4/3*(6*n+3)/((3*n2+6*n+10)*(3*n2+7)))= 4*(2*n+1)/((3*n2+6*n+10)*(3*n2+7))) lim(4*(2*n+1)/((3*n2+6*n+10)*(3*n2+7))))= "la'hospital" n®¥ 4*lim(2/(36*n3+54*n2+102*n+42))= __n®¥ 4*lim(1/(18*n3+27*n2+51*n+21))= __n®¥ 4*lim(1/n3*1/(18+27/n+51/(n2)+21/(n3)))= __n®¥ 4*lim(1/n3)*lim(1/(18+27/n+51/(n2)+21/(n3)))= __n®¥_-----_n®¥ 4*lim(1/n3)*(1/(lim(18)+lim(27/n)+lim(51/(n2))+lim(21/(n3))))= __n®¥________n®¥___n®¥_____n®¥_______n®¥ 4*0*(1/(18+0+0+0))=4*0/18=0 |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 20:11: |
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Ich hab nur die Konvergenz untersucht; nicht die Konvergenz gegen einen bestimmten Grenzwert. Nach dem Satz: Eine Folge ist dann konvergent, wenn die Differenz zweier unmittelbar aufeinander folgender Folgeglieder gegen 0 strebt (für "n" gegen ¥). Das hab ich bewiesen. Natürlich ist dein Weg bei A wesentlich eleganter, aber mir fiel nix besseres ein. |
superknowa
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 01:41: |
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Mir fiel folgender Satz bei der Frage auf: "Ich soll folgende Aufgaben mit Hilfe der Definition auf Konvergenz untersuchen ..." Deswegen habe ich versucht, dem Fragenden das sozusagen so zu sagen. ;-) superknowa |
superknowa
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 01:51: |
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Nach dem Satz: Eine Folge ist dann konvergent, wenn die Differenz zweier unmittelbar aufeinander folgender Folgeglieder gegen 0 strebt (für "n" gegen oo). an = ln(n) Differenz zweier unmittelbar aufeinander folgenden Folgenglieder ist an+1 - an = ln(n+1) - ln(n) = ln[(n+1)/n] ® 0 für n ® oo Aber an = ln (n} ® +oo : Dieser Satz ist offenbar falsch |
lnexp
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 02:20: |
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Ich hab die Aufagbe b) falsch verstanden, tut leid. Soll wohl heissen bn = (n2+1) / (3n2+7) Ein kleiner Trick: bn = (n2+1) / (3n2+7) = ___= 3*(n2+1) / [ 3*(3n2+7)] = ___= (3n2+3) / [3*(3n2+7)] = ___= (3n2+7-4) / [3*(3n2+7)] = ___= (3n2+7) / [3*(3n2+7)] - 4 / [3*(3n2+7)] = ___= 1/3 - 4 / [3*(3n2+7)] Die Folge geht also wohl gegen g = 1/3, da für große n der Ausdruck 4 / [3*(3n2+7)] gegn Null geht. | bn - 1/3 | = | - 4 / [3*(3n2+7)] | = 4 / [3*(3n2+7)] < 1 / (3n2+7) < 1 / (3n2) £ 1 / (3n) < 1 / n < e 1 / n < e führt auf n > 1 / e Also muss man n0 nur größer als 1 / e wählen. cu lnexp |