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Madlen
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 13:17: | 
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Hallo! Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Die fetten Mathelexikas habens jedenfalls nicht. Ich benötige die Herleitung oder auf jeden Fall einen Beweis, dass folgendes Additionstheorem richtig ist: sin3x=3sinx + 4sin³x.
Danke schonmal für eure Hilfe: Madlen |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 15:03: |
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hallo Madlen,
die herleitung wird im allgemeinen ueber komplexe zahlen vorgenommen. die sind in der 11. klasse aber noch unbekannt.
mit komplexen zahlen geht es so einfach, dass keiner, der ein fettes mathebuch schreibt, auf die idee kommt, platz dafuer zu verschwenden.
ob es auch eine elementare herleitung gibt, ist mir nicht bekannt.
viele gruesse mrsmith.
ps: falls du die sog. eulersche formel e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) kennst, kann ich dir eine herleitung geben. sonst leider nicht. |
N.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 18:19: |
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Hallo Madlen und mrsmith,
es sind keineswegs Kentnisse über komplexe Zahlen notwendig um diese simple Relation zu beweisen.
Man muß nur ein kleinwenig grübeln...aus der beliebten Serie Tricks und Kniffe in der Mathematik:
Los geht's...
sin(x+y)=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)...(I)
cos(x+y)=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)...(II)
(1) und(II) sind die normalen Additionstheoreme nix neues also. Aus ihnen gewinnen wir die Formeln (III) und (Iv)
sin(2x)=2*sin(x)*cos(x)...(III)
cos(2x)=cos²x-sin²x=1-2*sin²x...(IV)
und nun wird es raffitückie Spannend...
sin(3x)=sin(2x+x)=sin(2x)*cos(x)+cos(2x)*sin(x)
sin(3x)=2*sin(x)*cos(x)*cos(x)+(1-2*sin²x)*sin(x)
sin(3x)=2*sin(x)*cos²x+(1-2*sin²x)*sin(x)
sin(3x)=2*sin(x)*(1-sin²x)+(1-2*sin²x)*sin(x)
sin(3x)=2*sin(x)-2*sin³x+sin(x)-2sin³x
sin(3x)=3*sin(x)-4*sin³x
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...Und irgendwie habe ich das Gefühl das dieses Ergebnis nicht unerwartet war...
lg N. |
Madlen
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 20:46: |
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Ihr seid meine absoluten Helden. Ich danke euch recht herzlich.
Eigentlich hab ich schon Abi, aber ich brauch die Herleitung für die Vorbereitung für mein Studium. Also nochmal vielen vielen Dank. Madlen |
Bewunderer
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. August, 2001 - 21:42: |
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Bravo Niels, als ich zwischen Klasse 11 und 12 war,
hätte ich noch nicht die Ausdauer gehabt, das hinzubekommen
Ein stiller Bewunderer deines Engagements |
superknowa
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 06:08: |
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Und wie ist nun cos(x) und sin(x) definiert, um das "tun zu dürfen" ? |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 08:15: |
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hallo,
ich moechte mich Bewunderer ausdruecklich anschliessen.
es bleibt mir aber die frage:
koennen auch die relationen (I) und (II) elementar
hergeleitet werden?
falls nicht, waere die anwendung des komplexen
naemlich nur in einen ausgelagerten teil des
beweises verschoben worden.
viele gruesse mrsmith |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 10:25: |
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Hallo allerseits,
Gruß, Fern
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N.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. August, 2001 - 11:02: |
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Hallo zusammen,
An Bewunderer:
Danke, aber dies war wirklich nicht schwer zu Beweisen:-)
An superknowa:
ich verstehe nicht ganz deine Bemerkung...
An mrsmith:
Du meinst die Additionstheoreme?
Aber selbstverständlich kann man sie elementar beweisen!!!
Mir sind alleine 3 elementare Beweise bekannt:
1) Beweis am Dreiecken
2) Beweis am Einheitskreis
3) Beweis per "Drehgleichungen"
schau mal hier im Achiv sonst weiter nach!!!
lg N. |
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