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Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Januar, 2000 - 16:52: | 
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Ein Läufer bewegt sich vom Punkt A zum Punkt B wobei A auf einer Wiese liegt und B auf einem frisch gepflügten Acker, die geradlinig voneinander getrennt seien. Die Geschwindigkeit des Läufers auf der Wiese bze. auf dem Acker seien c1 bzw. c2 mit c1>c2 (da man auf dem Acker nicht so schnell ist)
Auf welchem Weg gelangt der Läufer am schnellsten von A nach B, wenn die Abstände von der Trennlinie für A bzw B die Werte a bzw b haben und die Winkel der Wegteile mit der Senkrechten zur Trennlinie im Kreuzungspunkt K mit der Trennlinie alpha bzw. betha betragen?
Der Abstand der Lotpunkte von A und B auf der Trennlinie sei d.
Es empfiehlt sich, den Abstand vom Lotpunkt von A zu K mit x zu bezeichnen.
Drücken sie das Ergebnis durch die Winkel aus und interpretieren sie es!
Für mich eine unlösliche Aufgabe!!!!!Bitte Versucht ihr es!(Montag muss ich sie abgeben)
Danke |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2000 - 06:18: |
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Müder Ansatz:
Zeichne Paralellogramm ACBD.Zeichne Diagonale CD.Nenne Diagonalenabschnitte x bzw.y. Schnitt AB sei K. Winkel bei K alpha,beta. Die Strecke ADB ist zu minimieren.AD=u,DB=v.Zielfunktion: u+v=min.Ziel:v durch u ausdrücken.Pythagoras:v^2=b^2-y^2. Dann Strahlensatz etc.. Gute Nacht.
Oder war ich zu müde ??? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2000 - 06:29: |
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tan(beta)=v/y (vergessen) Schnarch... |
Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2000 - 16:17: |
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Mach erstmal eine Skizze, dann wird der Rest dieser Erklärung klarer.
Sei e1 der Abstand AK und e2 der Abstand BK. Dann ist die Gesamtstrecke des Läufers e1 + e2. Für e1 braucht er die Zeit t1 = e1/c1 und für e2 die Zeit t2 = e2/c2. Insgesamt also t = t1 + t2. t ist zu minimieren.
Es ist e1 = W(a²+x²), e2 = W(b²+(d-x)²). Also t(x) = W(a²+x²)/c1 + W(b²+(d-x)²)/c2. (W() = Wurzel)
Ableiten und einsetzen:
t'(x) = x/(c1*W(a²+x²)) - (d-x)/(c2*W(b²+(d-x)²) = x/(c1*e1) - (d-x)/(c2*e2) = sin(alpha)/c1 - sin(beta)/c2.
Ableitung Null setzen:
sin(alpha)/sin(beta) = c1/c2.
Das ist dasselbe Gesetz für den Brechungswinkel beim Übergang des Lichts von einem Medium in ein anderes. (c1, c2 dort die Lichtgeschwindigkeiten in den Medien.)
Wenn du x explizit bestimmen willst, musst du
x/(c1*W(a²+x²)) - (d-x)/(c2*W(b²+(d-x)²) = 0
nach x auflösen. Vereinfachen:
c2² * x² * (b²+(d-x)²) - c1² * (d-x)² * (a²+x²) = 0
Dies ist eine Gleichung 4. Grades. Jetzt ist wieder Fern mit seinem Super-Algebra-Programm gefragt. |
H.R.Moser
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2000 - 16:32: |
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Wir stellen die Abstände u = AK und v = KB mittels Pythagoras als Funktionen von x dar :
u = wurzel(a^2+x^2) , v = wurzel(b^2+(d-x)^2). Die gesamte Laufzeit berechnet sich nach dem Weg-Zeit-Gesetz zu T = u/c1 + v/c2. Um das Minimum von T=T(x) zu erhalten, berechnen wir die Ableitung T`(x). .Wir benützen dabei die Ableitungsregel für die Quadratwurzel und beachten, dass die Kettenregel verlangt , dass auch die Radikanden der Wurzeln nach x abgeleitet werden; diese Ableitungen stehen in den Zählern der nachfolgenden Brüche Es entsteht als Ableitung:
T`(x) = 2*x / (c1*2*wurzel( a^2+x^2)) -2*(d-x) / .( c2*2*wurzel(b^2+(d-x)^2)) .
Setzt man T`(x)=0 , so erhält man die Gleichung: x/(c1*wurzel(a^2+x^2))=(d-x)/(c2*wurzel(b^2+(d-x)^2)) .Diese Gleichung lässt sich wesentlich vereinfachen, wenn man die Werte für sin (alpha) und sin (beta),welche man rechtwinkligen Dreiecken in der Figur entnimmt, einführt. Es kommt die einfache Beziehung:
sin (alpha) / c1 = sin (beta ) / c2 oder sin (alpha) : sin (beta) = c1 : c2 < 1 ;dies ist das bekannte Brechungsgesetz der Physik !
. |
H.R.Moser
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Januar, 2000 - 17:01: |
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Ist das nicht bewundernswert,dass wir beide,Zaph und ich, dassselbe Resultat bekommen haben ! Bravo! |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Januar, 2000 - 21:49: |
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Fern, hast du mal versucht, die Gleichung 4. Grades nach x aufzulösen? (Siehe 22. Januar - 17:17, vorletzte Zeile.) Du kannst das doch!? |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Januar, 2000 - 08:24: |
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Darf ich zu dieser Frage eine Kleinigkeit beitragen .
Ich will mich dabei mit einem numerischen Beispiel begnügen:
Sei c1 : c2 = 4 :3 , a = 3 , b = 4 ,d =7. Damit entsteht die (vereinfachte ) Gleichung vierten Grades in x : 7 x^4 - 98 x^3 + 343 x^2 -2016 x + 7056 = 0. Diese Gleichung hat zwei reelle und zwei komplexe Lösungen. Die reellen Lösungen sind: x1 = 4 (die zu erwartende und für das Problem taugliche Lösung ) und eine ausserhalb des Intervalls liegende Lösung x2.
Mit p = 3997 + 36* wurzel (12027) gilt: x2 = 1/3* (p ^(1/3)+ 73*p^(-1/3) +10),Zahlenwert
angenähert 11.2042.
Mit freundlichen Grüßen.:HR. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Januar, 2000 - 09:18: |
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Hallo Zaph,
Eine einfache, algebraische Lösung scheint nicht zu existieren. Mein Computer gibt zwar eine Lösung an, diese ist aber 5 oder 6 Seiten lang, so dass man nichts damit anfängt.
Übrigens: ich benutze das Programm Maple V Release 5. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Januar, 2000 - 15:01: |
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Hi Fern,
wie geht das denn mit Maple? Ich glaube, ich habe es mit dem Befehl "solve" versucht. Kann das jetzt aber nicht ausprobieren, da ich das Programm nicht hier habe. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2000 - 08:52: |
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Hallo Zaph,
Ja, mit dem "solve".
Dies ergibt das Resultat in der Form von RootOf(...).
Mit dem Befehl "allvalues" erhält man dann alle Wurzeln.
Wie gesagt, in unserem Fall, ergibt sich kein brauchbares Ergebnis, weil zu viele allgemeine Konstanten vorhanden sind.
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restart:
f:=x->c2^2*x^2*(b^2+(d-x)^2)-c1^2*(d-x)^2*(a^2+x^2);
> s:=solve(f(x)=0,x);
> s1:=allvalues(s);
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Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Januar, 2000 - 23:02: |
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Danke Fern, werde ich Montag ausprobieren. |
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