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Christina
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. August, 2001 - 13:01: | 
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Hallo, in einer Aufgabe wurde die Beschreibung eines Verfahrens gefordert wie man den/die gemeinsamen Punkt(e) einer Funktionsschar herausfindet.
In der Klausur habe ich "gleichsetzen" geschrieben, aber dafür leider nur einen Trostpunkt bekommen :-(
Was kann man denn sonst machen?
Christina |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. August, 2001 - 16:02: |
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hallo Christina,
1) sich ueber den trostpunkt freuen
2) die funktionsschar wird durch einen parameter beschrieben z.b. f_b(x). man kann partiell nach dem parameter b ableiten und die ableitung, als funktion von x null setzen.
habe ich in diesem forum gestern oder so schon mal geschrieben. (gilt aber heute auch noch)
viele gruesse mrsmith |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. August, 2001 - 16:42: |
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vgl den vorherigen eintrag in der rubrik
klasse 11-funktionen-funktionenscharen |
Christina
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. August, 2001 - 07:38: |
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Hallo mrsmith, meinst du diesen Kommentar?
>> notwendige bedingung fuer unabhaengigkeit
>> eines punktes von p ist, dass die ableitung
>> der funktion nach dem parameter verschwindet,
>> also (d/dp)f_p(x) = 0.
Leider habe ich davon nicht viel kapiert ! Oder anderes gefragt, warum ist das so?
Die Ableitung nach x beschreibt doch die Steigung einer Funktion. Aber was hat die Ableitung nach dem Parameter da zu suchen?
>> also (d/dp)f_p(x) = 0.
Was ist das?????
Es wäre echt toll, wenn du mir das noch erklären könntest. Christina |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. August, 2001 - 13:03: |
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hi Christina,
da beispiele immer gut sind, sollten wir versuchen uns vermittelst eines solchen die situation klarzumachen:
nehmen wir also eine einfache parabelgleichung mit einem freien parameter.
f_a(x) = a(x-2)(x-3a) = ax^2 -2ax -3a^2x +6a^2
die funktion f_a(x) hat bekanntlich fuer festes a die nullstellen x=2 und x=3*a. unabhaengig von der wahl von a hat jede funktion der schar f_a also einen nullpunkt bei x=2. der punkt x=2 ist also ein gemeinsamer punkt der schar und
das beschriebene verfahren muss in der lage sein, mindestens diesen und ggf. weitere gemeinsame punkte der schar zu finden.
bilden wir also die partielle ableitung nach dem parameter
(d/da)(f_a(x)) = x^2 -2x -6ax +12a
und setzen das ergebnis als funktion von x zu null
x^2 -2x -6ax +12a = 0 genau dann wenn (nach polynomdivision)
(x-6a)(x-2) = 0 mit den beiden loesungen x_1=6a und x_2=2. die erste loesung ist nicht unabhaengig von a, ist also kein gemeinsamer punkt. die zweite loesung dagegen enthaelt a nicht. also ist x=2 ein gemeinsamer punkt der schar. da die aufgestellte bedingung notwendig ist, ist es gleichzeitig der einzige gemeinsame punkt.
abstraktes ende: eine funktion von x mit einem parameter a kann man sich auch als funktion von a und x vorstellen, die ueber einem zweidimensionalen koordinatengitter definiert ist.
(standarderklaerung: denke an die hoehenlinien in einer topographischen karte) d.h. f_a(x) = f(a,x)= (wie oben).
wenn nun die ableitung nach a identisch 0 ist, dann gibt es keine steigung in a richtung. wenn ich (gedanklich) in richtung von a laufe, dann kreuze ich alle funktionen der schar. wenn ich dabei immer dieselbe hoehe beibehalten kann, dann werden bei einer geeigneten projektion der "hoehenlinien" auf die x-f(x)-ebene alle punkte, die entlang von a durchschritten wurden auf einen gemeinsamen punkt projiziert. das ist dann ein gemeinsamer punkt der schar.
viele gruesse mrsmith
ps um es noch ein bisschen komplizierter zu machen: f(a,x) angesehen als funktionen von a mit parameter x, d.h. interpretiert als f_x(a), was wegen der gleichberechtigung von a und x moeglich ist, sind ebenfalls parabeln, naemlich f_x(a) = -(x-2)a(3a -x)= -3(x-2)a(a-1/3) mit dem vorfaktor -3(x-2). fuer x<2 sind die parabeln nach oben geoeffnet. fuer x>2 nach unten. bei x=2 ist aber der vorfaktor gerade 0. die entsprechende parabel ist zu einer gerade entartet. |
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