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Beitrag |
    
Sophia Marklstorfer (Goo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Juli, 2001 - 20:43: | 
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Berechne
a) lim x^2 +3x +4
x->+/-unendlich -----------
x^3 -5
b) lim 2x^2 - 5x^6 +4
x->+/-unendlich --------------
3x^4 + 6x^6
c) lim x^2 - x - 6
x->3 -----------
x^2 - 2x - 3
d) lim x^2 + 5x + 6
x->-3 ------------
x^2 + 2x -3
Ich hoffe Ihr könnt es entziffern und mir antworten. |
Andra
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 07:11: |
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Hi Sophia,
dasselbe wie oben, wir können deine Funktionen so nicht verstehen. Wenn du eine Nachricht schreibst, gibts doch extra die Vorschau damit du sehen kannst, wie die Nachricht ankommt. Nutze das.
Ciao, Andra |
Sophia Marklstorfer (Goo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 09:57: |
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Sorry, bin ziemlich neu erst seit gestern hier.
Das soll ein Bruch ----- sein und die ganze Formel hat sich auf die Seite vezogen.
Dh. es soll x^2 x hoch 2 heissen
a) lim
x gegen plus/minus unendlich
und der Bruch
x^2+3x+4
durch
x^3-5
b) lim
x gegen plus/minus unendlich
mit dem Bruch
2x^2-5x^6+4
durch
3x^4+6x^6
c) lim
x gegen 3
der Bruch
x^2-x-6
durch
x^2-2x-3
d)lim
x gegen -3
der Bruch
x^2+5x+6
durch
x^2+2x-3 |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 10:19: |
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hallo goo,
ich denke, gemeint ist:
a) berechne lim_(x->+/-oo)[(x^2 +3x +4)/(x^3 -5)]
etc.
tja, das ist ganz einfach. hier z.b. ist der hoechste exponent des nennerpolynoms groesser als der hoechste exponent des zaehlerpolynoms. in diesem fall ist der limes = 0, denn x^3 geht schneller gegen unendlich als x^2.
wie loese ich eine solche aufgabe, wo der lim_(x->+oo) oder lim_(x->-oo) auftritt allgemein?
zunaechst aus beiden polynomen den hoechsten exponenten ausklammern.
(x^2 +3x +4)/(x^3 -5)= (x^2*(1 +3/x +4/x^2))/(x^3*(1 - 5/x^3))
es bleibt, nach zusammenfassung der ausgeklammerten terme, folgender ausdruck uebrig:
(1/x)*(1 + 3/x + 4/x^2)/(1 - 5/x^3).
bei der limes bildung gehen die ausdruecke a/x^n gegen 0 fuer x->+/-oo.
damit ist sollte der grenzwert klar sein.
aufgaben c) und d) folgen einem anderen schema.
beispiel aufgabe c)
falls das zaehlerpolynom an der stelle 3 ungleich 0 ist und das nennerpolynom gleich 0, so ist der grenzwert entweder +oo oder -oo. wenn aber beide polynome an der stelle 0 gleich 0 sind, dann ist in diesem fall wohl das einfachste, oben und unten den boesewicht auszuklammern. (polynomdivision!)
dann gilt im zaehlerpolynom
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
und im nennerpolynom
x^2 - 2x -3 = (x - 3)(x + 1)
da fuer x ungleich 3 gekuerzt werden darf, ist jetzt nur noch
lim_(x->3) [(x+2)/(x-1)] zu bestimmen. das ist einfach, naemlich 5/2.
viele gruesse mrsmith.
ps: es gibt eine noch allgemeinere moeglichkeit, den limes eines quotienten auszurechnen, wenn zaehlerterm und nennerterm beide gegen 0 gehen: man leitet die zaehlerfunktion und die nennerfunktion beide ab. der quotient der ableitungen ist dann der gesuchte wert. (namen dieses verfahrens habe ich vergessen. peinlich, denn alle, die das hier lesen, wissen es). solange es sich aber um polynome handelt, ist dieser satz nicht noetig, denn wenn ein polynom eine nullstelle hat, dann wird die polynomdivision durch (x-nullstelle) in jedem fall aufgehen. |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 10:28: |
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das problem: formatierung durch freizeichen geht nicht, da proportionalschrift verwendet wird.
bleibt also eigentlich nur brueche in der form
a/b zu schreiben und klammern zu verwenden.
in LATEX werden tiefergestellte indizes mit
x_1, x_2 geschrieben. das gefaellt mir ganz gut.
gruesse mrsmith |
Sophia Marklstorfer (Goo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 10:33: |
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Vielen Dank für die rasche Antwort.
Was bedeutet das Sterchen, das es auch hochgestellt ist^hoch*hoch also 2xhoch?
Das Ausklammern des höchsten Exponenten nach den Potenzgesetzen Exponentialgesetzen? |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 10:40: |
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sorry, in der vorletzten nachricht: statt 5/2 lies 5/4. |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 10:50: |
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das sternchen * bedeutet mal, also z.b.
3*4 = 12.
wurde zuerst in FORTRAN so verwendet.
(in FORTRAN wurde weiterhin geschrieben 2**3 fuer
2^3 = 8. das ist durch verwendung des zeichens ^3 aber in diesem forum nicht noetig. wahrscheinlich koennen auch die wenigsten hier FORTRAN programmieren.)
Ausklammern funktioniert natuerlich nach gewissen Potenzgesetzen.
z.B. x^2 = x^3/x
allgemein x^(n+m) = x^n*x^m fuer alle n,m element Z. (Z = ganze Zahlen).
viele gruesse mrsmith
ps: schnelle antwort gab es deshalb, weil ich schon mit dem schreiben begonnen hatte, bevor ich deine erklaerungen gelesen hatte.
pps: ich hatte mich leider in der aufgabe c) verrechnet. dort musste naemlich der limes des quotienten von (x+2)/(x+1) berechnet werden und nicht der von (x+2)/(x-1), wie ich es getan hatte.
aber du musst ja sowieso noch selbst rechnen. ich wollte dir nur kurz erklaeren, wie man es machen kann. |
Sophia Marklstorfer (Goo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 12:20: |
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Sorry, verstehe nicht wie das mit dem Ausklammern gemeint ist.Bzw. verstehe die vielen / nicht .
Klar soll ein Bruch sein aber Ausklammern im Exponenten oder..? |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 12:53: |
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hallo goo,
dann probieren wir es mal mit zahlen:
nehmen wir an, ich moechte aus dem folgenden einfachen ausdruck (25 + 15 + 4) weshalb auch immer die 25 vornedran ausklammern. geht zunaechst nicht, aber nach erweiterung schon, naemlich ich schreibe:
(25 + 15 + 4) = (25 + 75/5 + 100/25). jetzt steckt der faktor 25 in allen zaehlern drin, und ich kann weiterrechnen
= 25*(1 + 3/5 + 4/25).
in der aufgabe habe ich genau dasselbe gerechnet (vgl das zaehlerpolynom im fall x=5).
nb: es gilt stets x^(-n) = 1/x^n.
viele gruesse mrsmith |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 13:58: |
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nachtrag zu:
es gibt eine noch allgemeinere moeglichkeit, den limes eines quotienten auszurechnen, wenn zaehlerterm und nennerterm beide gegen 0 gehen: man leitet die zaehlerfunktion und die nennerfunktion beide ab. der quotient der ableitungen ist dann der gesuchte wert. (namen dieses verfahrens habe ich vergessen. peinlich, denn alle, die das hier lesen, wissen es).
das besagte ding heisst:
"Regel von de l'Hospital", falls du mal darueber stolperst.
mit vielen (nicht mehr ganz so peinlich beruehrten) gruessen mrsmith |
Sophia Marklstorfer (Goo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 14:18: |
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Veilen Dank für die Antwort.
(25+75/5+100/25 ist das auf einem Bruchstrich und
die 5 und 25 sind drunter?
= 25 mal 1+3 durch 5 +4 durch |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. August, 2001 - 16:42: |
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sorry, aber diese frage verstehe ich nicht!
gute antworten sollten immer so schwierig sein wie die dazugehoerigen fragen. in diesem sinne hatte ich die hoffnung dir gute antworten gegeben zu haben. bruchrechnen kam doch schon vor der 11ten klasse dran?
1. regel ausdruecke in klammern werden zuerst ausgewertet. die innerste klammer zuerst.
2. regel exponent hat vorrang vor punktrechnung. punktrechnung hat vorrang vor strichrechnung.
3. regel es gibt so etwas wie doppelbrueche, d.h. auch im zaehler oder nenner von bruechen koennen wieder brueche stehen.
wolltest du das hoeren? viele gruesse mrsmith |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. August, 2001 - 12:37: |
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hallo goo,
nachdem ich nochmal drueber geschlafen habe, bin ich der ansicht, dass ich dich mit meinen vielen bruchstrichen wohl doch ueberfordert habe.
kann sein, dass ihr zwar bruchrechnen gelernt habt, aber noch keine funktionen der form f(x) = 1/x etc. kennt. tut mir leid.
die herleitung, weshalb ein ausdruck gegen einen bestimmten grenzwert geht, macht man halt so.
zur anwendung reicht aber das kriterium, das ich zuerst angegeben habe:
wenn hoechster exponent im zaehler groesser als hoechster expontent im nenner, dann gegen +oo oder -oo je nach vorzeichenkombination.
wenn hoechster exponent im zaehler kleiner als hoechster exponent im nenner, dann gegen 0.
wenn beide exponenten gleich gross, dann gegen einen endlichen wert, der durch den quotienten der faktoren der hoechsten exponenten gegeben ist.
z.b. lim_(x->+oo)[(3*x^n + ...)/(-5*x^n + ...)] = 3/(-5) = -3/5.
viele gruesse (und bitte nicht boese sein) mrsmith |
Sophia Marklstorfer (Goo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. August, 2001 - 09:04: |
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Sorry hab diese Grenzwerte immer noch nicht raus!
Das ist mir irgendwie zu abstrakt.
Hab versucht die gleich Null zusetzen aber ich bin
nicht zufrieden oder zu unsicher.
Gruss Goo |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. August, 2001 - 10:24: |
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hi again goo,
das ist auch abstrakt, ist ja schliesslich mathe!
ich werd versuchen, mir ein "didaktisches konzept fuer dich" zu ueberlegen.
bis spaeter mrsmith. |
AAnonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. August, 2001 - 21:00: |
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Grenzwerte sind, wie der Name schon sagt, die Grenzen der Werte GEGEN einen bestimmten Wert. (Ich weiß es hört sich blöd an).
Grundgedanke des Ganzen ist den Wert einer Funktion für einen bestimmten x-Wert zu ermitteln.
Eigentlich wird hierbei betrachtet wie sich der y-Wert GEGEN + - unendlich verhält, GEGEN eine Asymptote oder GEGEN einen Wert der vorgegeben ist.
Einfache Betrachtungen:
y=x^2 ; aufgrund der Quadratur gehen alle y-Werte (für x GEGEN unendlich) GEGEN + unendlich (ein Quadrat kann niemals negativ sein.)
y=x^3 ; die positiven Werte gehen GEGEN + unendlich (x*x*x ist immer positiv);
die negativen Werte (-x*-x*-x sind negativ und gehen damit GEGEN - unendlich).
Nehmen wir an du untersuchst das Verhalten der Funktion f(x)=x^2 GEGEN den Wert 2. Er kann niemals 4 übersteigen. (2^2=4). Das gleiche gilt für -2. 4 ist der Grenzwert dieser Funktion GEGEN den Wert + - 2
Wenn du dasselbe für für f(x)=x^3 machst stellst du fest das für x=2 der y-Wert GEGEN 8 strebt
(2*2*2=8 ; dieser wert kann für x=2 nicht überschritten werden).
Nimmst du x=-2 (-2*-2*-2=-8) kann -8 nicht unterschritten werden.
Grenzwerte sind also solche Werte die ein bestimmter x-Wert weder über- noch unterschreiten kann.
GEGEN heißt hierbei der maximal erreichbare Wert. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 02:07: |
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An AAnonym:
2,12 = 4,41 > 4 = 22
2,13 = 9,261 > 8 = 23
(-2,1)3 = -9,261 < -8 = (-2)3
Diese Beispiele zeigen etwas gegenteiliges.
Oder meinst Du einseitige Grenzwerte von monotonen Funktionen ?
Nehmen wir einmal
f(x)=x*sin(1/x)
für x®0 gilt f(x)®0
Aber egal, ob man sich einseitig von links oder von rechts an x0=0 annähert, überschreitet oder unterschreitet f(x) "auf dem Weg dorthin" den Grenzwert 0 (und nimmt ihn auch abzählbar unendlich oft an).
Def.: Eine reelle Funktion f (, die in einer Umgebung von x0 mit eventueller Ausnahme von x0 definiert sei,) hat für x®x0 ( in |R ) genau dann den Grenzwert y0 ( in |R ), wenn gilt:
für jedes (noch so kleine) e > 0 existiert ein d > 0, so dass für alle x¹x0 mit |x-x0| < d gilt: |f(x)-y0| < e
Ist der Grenzwert für z.B. +oo (+Unendlich) gefragt, dann gilt:
f (,definiert für x > X,) hat genau dann den Grenzwert y0 ( in |R ), wenn für jedes e > 0 ein M ( in |R ) existiert, so dass für alle x > M > X gilt: |f(x)-y0| < e |
lnexp
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 03:11: |
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An Sophia
Aus den obigen komplizierten Definitionen kann man "einfach" folgern, dass
für x®+oo (oder -oo) gilt: 1/x®0 bzw.
_____ 1
lim __. x _= 0
x®±oo
(es muss nur M=1/e gewählt werden).
Erst recht gilt das dann für 1/xr mit r > 1 (M > 1 wählen) und auch für c/xr mit c beliebig, also z.B. für 1/x2, 1/x3 usw. oder für -2/x4.
Jetzt wirds aber wichtig für Deine Fragen:
Da man den Bruch aus Aufgabe a)
x2+3x+4
x3-5
in Zähler und Nenner mit 1/x3 erweitern kann (also jeden Summanden in Zähler und Nenner durch x3 teilen, was dem Ausklammern von mrsmith entspricht), erhält man
______x2+3x+4 ________ 1/x+3/x2+4/x3 _____ 0 + 0 + 0
lim _____x3-5___ = lim ______ 1-5/x3_____=____ 1 - 0 _____= 0 , weil
x®±oo __________ x®±oo
sowohl 1/x als auch 3/x2 als auch 4/x3 als auch 5/x3 alle gegen 0 gehen.
Diese Vorgehen klappt bei gebrochenrationalen Funktionen und x®±oo sicherlich immer, wenn die höchste Potenz im Zähler höchstens gleich der höchsten Potenz im Nenner ist (man teilt jeden Summanden in Zähler und Nenner durch die höchste Potenz im Nenner, wie hier mit x3).
In der Aufgabe b) ist der Zähler 2x2 - 5x6 + 4, die höchste Zählerpotenz also 6.
Der Nenner ist 3x4 + 6x6 : die höchste Nennerpotenz ist auch 6. Da die höchste Zählerpotenz gleich der höchsten Nennerpotenz ist, klappt das Vorgehen wieder. Nach der Division aller Summanden mit x6 (entspricht dem Erweitern mit 1/x6) erhält man im
Zähler: 2/x4 - 5 + 4/x6___ strebt gegen -5 für x±oo
Nenner: 3/x2 + 6___ strebt gegen 6.
Der Grenzwert ist also -5/6.
Die c) Aufgabe hat mrsmith sehr gut erklärt, denke ich; da war nur ein Tippfehler drin:
lim_(x->3) [(x+2)/(x+1)] = 5/4
Bei d) geht es ähnlich mit
dem Zähler x2 + 5x + 6 = (x+3)*(x+2) und
dem Nenner x2 + 2x - 3 = (x+3)*(x-1) ; Kürzen mit (x+3) liefert
lim (x+2)/(x-1) = -1/-4 = 1/4
x®-3
ciao
lnexp
PS: zur Formatierung (wie z.B. x2 statt x^2 oder x**2) mal das da angucken:
Formatierung |
Adonis
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 16:51: |
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Hi, ich habe ein kleines problem, ich soll zwecks Schulaufgabe ein Referat über den Grenzwert halten, jedoch weiß ich nicht sorecht was ich da so alles mit einbringen soll, könnt ihr mir da eine kleine Hilfestellung geben, wäre echt super :D |
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