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Beitrag |
    
Jessica
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2000 - 14:10: | 
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Hallo,
kann mir bei dieser Aufgabe jemand helfen?
Also:
Definiere die Funktion f: R-> R durch
f(x) := {exp(-1/x) für x>0
0 sonst
Zeige, dass f beliebig oft differenzierbar und dass es für jedes n aus N ein Polynom pn, mit
fn(x): {pn (1/x)exp(-1/x) für x>0
0 sonst
gibt.
Danke |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Januar, 2000 - 21:51: |
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Den zweiten Teil verstehe ich nicht. Kannst Du die Definition von fn(x) nochmal exakt aufschreiben?
Der erste Teil: Die Aussage ist ja unstrittig für x ungleich 0 und für x=0 setze einfach die Definition (Limes des Differenzenquotienten) ein um die Existenzen der Ableitungen zu zeigen. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Januar, 2000 - 23:49: |
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Das ganze klappt mit Induktion.Für n=1 kannst Du f'(x) für x¹0 berechnen.Betrachte hiervon die Grenzwerte für x->0.
Wenn es für ein n bewiesen ist,dann gilt :
f(n+1)(x)=d/dx pn(1/x)e-1/x=...
Hier mußt Du die Kettenregel anwenden,um die Ableitung zu erhalten,wobei Du über pn nur wissen mußt,daß p'n ein Polynom vom Grad n-1 ist. Dann wirst Du am Ende eine Darstellung der Form pn+1(1/x)e-1/x erhalten.Versuchs mal ! |
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