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Lukasz Gren (Headcrash84)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 19:06: | 
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Die Punkte O(0/0), P (5/0), Q (5/f(5)), R(u/f(u))
S(0/f(0)) des Schaubildes von f mit f(x) = -0,05x^3 + x + 4; 0<=x<=5, bilden ein Vieleck. Für welches u wird sein Inhalt maximal.
Ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich hab mir gedacht, dass das Vieleck aus 2 Trapezen besteht, doch die Rechnung wird dadurch ziemlich riesig.
Ich hoffe jemand kann mir eine Lösung aufzeigen. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 07:15: |
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Hallo Lukasz,
wenn ich das richtig sehe, ist das Vieleck ein Fünfeck. Dessen Flächeninhalt kannst Du mit 3 Dreiecken berechnen.
1. Dreieck O, S, R
2. Dreieck O, R, P
3. Dreieck R, S, Q |
Lerny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 10:41: |
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Hallo Lukasz,
zunächst eine Skizze
Ich habe die gegebenen Eckpunkte O und P in ein Koordinatensystem eingetragen; dann habe ich Q(5/2,75) und S(0/4) berechnet und ebenfalls eingetragen.
Diese 4 Punkte bilden, wie du leicht erkennst ein Trapez mit den Seitenlängen SO=4, PQ=2,75 sowie der Höhe h=OP=5. Dieses Trapez ist konstant, also unabhängig von der Wahl von u, da R stets oberhalb der Geraden durch Q und S liegt.
Beweis für diese Behauptung:
Es ist zu zeigen, dass für alle u mit 0<=u<=5 stets gilt f(u)>=g(u), mit g(x)=-0,25x+4 (Gerade durch S und Q)
f(u)=-0,05u³+u+4 und g(u)=-0,25u+4
f(u)>=g(u)
<=> -0,05u³+u+4>=-0,25u+4 |-4
<=> -0,05u³+u>=-0,25u |+0,25u
<=> -0,05u³+1,25u>=0 |:0,05
<=> -u³+25u>=0
<=> u(-u²+25)>=0
Wegen u>=0 nach Voraussetzung muss nur noch gezeigt werden, dass
-u²+25>=0 <=> 25>=u²
dies gilt wegen u<=5 und u>=0
Somit wird der Flächeninhalt des Vielecks maximal, wenn der Flächeninhalt des Dreiecks SQR maximal wird.
Die Grundseite SQ hat eine konstante Länge. Es gilt SQ=Ö(5²+1,25²)=5,154
Die Höhe des Dreiecks SQR ist der Abstand des Punktes R(u/-0,05u³+u+4) von der Geraden y=-0,25x+4.
Dieser Abstand läßt sich mit der Formel
d=(y1-m*x1-n)/(Ö(1+m²)) ermitteln; also
h=(-0,05u³+u+4-(-0,25)*u-4)/(Ö(1+0,0625))
h=(-0,05u³+1,25u)/1,03078
Somit folgt für den Flächeninhalt
A(u)=0,5*5,154*(-0,05u³+1,25u)/1,03078
A(u)=2,5(-0,05u³+1,25u)
A'(u)=2,5(-0,15u²+1,25)
A'(u)=0 <=> -0,15u²+1,25=0 <=> 0,15u²=1,25 <=> u²=25/3 => u=5/Ö3=2,89
Mit der 2. Ableitung überprüfen
A"(u)= 2,5(-0,3u)=-0,75u
A"(2,89)<0 => Max.
Also hat das Vieleck für u=2,89 maximalen Flächeninhalt.
mfg Lerny |
Lukasz Gren (Headcrash84)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 12:11: |
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Vielen Dank für die super ausführliche Lösung Lerny!
Ich bin mit meiner Methode (mit 2 Trapezen) ebenfalls auf die gleiche Lösung gekommen. Deine Alternative ist allerding ziemlich elegant ;) |
FarinO
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 15:20: |
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Wie definiert man "elegant" in der Mathematik?
Flächeninhalt A(OPQRS) des Fünfecks OPQRS ist gleich dem
Inhalt der beiden Trapeze OFRS und FPQR, wobei F(u/0) ist.
A(OFRS) = u*(f(u)+4)/2
A(FPQR) = (5-u)*((f(u)+2.75)/2
A(OPQRS) = u*f(u)/2 + 2u + (5/2)f(u) +2.75*5/2 -u*f(u)/2 -u*2.75/2
mit f(x)=-0,05x^3 + x + 4 =>
A(u) = (2-2.75/2)u +(5/2)(-0,05u^3 + u + 4) + 6.875
A(u)=0.625u -0.125u³ + 2.5u +10 +6.875
A(u)=-u³/8 + (25/8)u + 16.875
A'(u) = -(3/8)u² + 25/8
A"(u) = -(3/4)u <0 für alle u mit 0<u<5 => Max.
Setze die 1.Ableitung A'(u) gleich Null:
-(3/8)u² + 25/8 = 0
<=> 25/8 = (3/8)u²
<=> 25/3 = u²
<=> u=5/sqrt(3)
Darf Eleganz auf Kosten der Kürze gehen? |
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