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greg
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2000 - 19:39: | 
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Ich verzweifle an dieser Aufgabe die mal ein Lehrer aus Spass aufgab.
An einer Wand steht ein Würfel 1m*1m*1m. Über die obere Kante des Wüfels ist eine Leiter (7m) an die Wand gelehnt, so das die Würfelkante berührt wird. Wie hoch ist der Punkt wo die Leiter die Wand berührt??
Das muß doch ohne uferlos lange Gleichungen 4. Grades und Ableitungen und son Kram gehen. Ich denke es ist doch eindeutig zweideutig(quadratisch- entweder die Leiter steht steil oder sie liegt eher flach.
Ich jedenfals bin so weit: X -> Wandhöhe ;Y -> Abstand von der Wand
I) x*x + Y*Y =49
II) (Y-1)/Y = 1/X
III) (Y-1)/1 = Y/X
aber wenn ich dass alles verbinde komme ich jedesmal auf X*X*X*X + X*X*X u.s.w. alle 5 Grade toll. Ich weiss aber es !Muß! ohne gehen. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2000 - 20:41: |
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Hallo, Greg!
Diese Aufgabe wurde schon mal gestellt
Ich hab sie auch beantwortet
Aber leider war die Lösung das Aulösen
der von dir beschriebenen Gleichung
4. oder 5. Grades,weiß nicht mehr genau
Kann sein das auch ich das zu kompliziert
gerechnet habe und die Lösung viel einfacher
ist!
Aber ich glaube die Lösung ist jene
implizite Gleichung
Was meinst du, Zaph ? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2000 - 21:40: |
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Also, ich komme auf die Gleichung
x^4 - 2x^3 - 47x^2 + 98x - 49 = 0.
Äußerst unangenehm! Aber, eine Gleichung vierten Grades ist lösbar! Wie, kriege ich allerdings auch nicht mehr zusammen. Vielleicht fragt mal jemand ein Computer-Algebra-Programm...
Dass es genau zwei positive reelle Lösungen geben sollte, ist klar Greg. Die anderen Lösungen sind wahrscheinlich negativ oder komplex. Das Vorhandensein von zwei Lösungen heißt auch noch lange nicht, dass sie Lösungen einer quadratischen Gleichung sind.
Woher weißt du, Greg, dass es ohne gehen !Muss! ?? |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2000 - 23:12: |
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x.... Abstand des Fußpunktes der Leiter von der Wand
y.... Höhe der Leiter
x²+y²=7²
(y-1)/1=y/x
===========
Diese beiden Simultangleichungen ergeben (laut meinem Computer):
x=6,9016, y=1,1694
und
x=1,1694, y=6,9016
=====================
Die Gleichung von Zaph hat die Lösungen:
x=6,9016
x=1,1694
x=0,8741
x=-6,9452
===========
Die beiden letzten Resultate sind zu verwerfen, da unrealistisch.
Bild:
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Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2000 - 23:35: |
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Fern, kann dein Computer auch "exakt" rechnen, d.h. nicht näherungsweise, sondern die Lösungen als Wurzelaudruck liefern? (Ähnlich wie bei der pq-Formel für quadratische Gleichungen, verstehst du was ich sagen will?) |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2000 - 09:44: |
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Hi Zaph,
Ja, er kann.
Zum Beispiel deine obige Gleichung
x^4-2x³-47x²+98x-49=0
ergibt als Lösung:
{x = 1/2+5/2*sqrt(2)+1/2*sqrt(47-10*sqrt(2))},
{x = 1/2+5/2*sqrt(2)-1/2*sqrt(47-10*sqrt(2))},
{x = 1/2-5/2*sqrt(2)+1/2*sqrt(47+10*sqrt(2))},
{x = 1/2-5/2*sqrt(2)-1/2*sqrt(47+10*sqrt(2))}
{x = 6.901622895}, {x = 1.169444915},
{x = .874137936}, {x = -6.945205746}
========================================
Nur die Zwischenrechnungen kann man nicht erkennen. Man erhält immer ein Resultat aber nicht den Weg dorthin. |
greg
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2000 - 18:09: |
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Der Lehrer (steller der Aufgabe) hat sie aus der Sendung "Kopf um Kopf" die früher mal irgendwo im 3. lief. Dort gab es immer einen Wettkampf zwischen Lehren und Schülern mit teiweise sehr kniffligen Aufgaben. Die "Hausaufgaben" für die Zuschauer waren immer so, das sie sehr schwierig Aussahen, es aber immer leichte Lösungen gab. z.B. die Summe der Quersummen von 1 bis 1'000'000, die mir mein Lehrer schon mal stellte(geht auch ganz leicht , sogar im Kopf). Nur will er mir die Lösung für das Leiterproblem, -ANGEBLICH genau so leicht- nicht sagen. Nur so viel das mal wohl die unrealistischen Ergebnisse schon vorher im Rechenweg eliminieren kann.
Danke aber für die zahlreichen Antworten, nur leider bringt die Lösung nicht viel, ausrechnen kann das jeder bessere Taschenrechner. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2000 - 19:59: |
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Also greg, ganz so einfach ("jeder bessere Taschenrechner") ist es nicht. Maple z.B. hat es nicht gekonnt, bzw. ich habe es mit Maple nicht hinbekommen. Aber hier ist die Herleitung:
Sei a = Leiterlänge = 7. Löse
(1) x² + y² = a²
(2) xy - x - y = 0
Setze z = x + y = xy. Dann
z² = x² + 2xy + y² = a² + 2z, bzw. z² - 2z - a² = 0.
Mit b = W(a² + 1) folgt
z = 1 +/- b und da z>0 somit z = 1 + b.
In (1) einsetzen:
x² + (x - 1 - b)² = a²,
2x² - 2(1+b)x + 1 + 2b + 1 + a² = a²,
x² - (1+b)x + (1+b) = 0,
x = (1+b)/2 +/- W((1+b)²/4 - (1+b)),
x = [1 + b +/- W(a² - 2b - 2)] / 2,
Also mit a = 7:
x = [1 + 5W(2) +/- W(47 - 10W(2))] / 2.
Nächste Frage: Wie konstruiert man x mit Zirkel und Lineal?? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2000 - 21:49: |
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selbst hergeleitet ?? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Januar, 2000 - 18:57: |
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Peinlich wird's, wenn man trotz Mathe-LK oder sogar Mathe-Studium eine Mathe-Aufgabe aus einem Ferseh-Quiz NICHT lösen kann!
Ne, Spaß beiseite... ganz auf der Hand lag die Lösung ja nicht. Aber wenn man die explizite Darstellung der Lösung von Fern sieht (nur mit Quadratwurzeln), ist klar, dass es einen billigen Trick geben muss, um sie zu erhalten. Mit dieser Darstellung ist auch ziemlich schnell klar, dass x+y Lösung einer quadratischen Gleichung ist. Und erst mal auf den Dreh gekommen, z = x+y anzusetzen, ist der Rest so gut wie geschenkt.
Eine derartig anspruchsvolle Quizsendung würde heutzutage wahrscheinlich nach der ersten Folge mangels Quote abgesetzt und der verantwortliche Redakteur in den Hindukusch strafversetzt... |
greg
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Januar, 2000 - 17:22: |
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Ich bin begeistert
Vielen Dank. |
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