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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2000 - 13:15: | 
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Ich brauche kurzfristig Hilfe
für folgende Aufgabe.
f(x)= 1/2(ex+e-x)
- 1. und 2. Ableitung ist zu bestimmen.
- der limes plus und minus unendlich von f(x)
- Die lokalen Extremstellen
- die Stammfunktion von f(x)
- das Integral von -1 bis +1
und den Graphen skizzieren. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2000 - 17:11: |
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Die Sache ist im Prinzip superbillig. Der Vorteil: e^x nach x abgeleitet ergibt wieder e^x.
Daraus folgt: f(x) = f´(x) = F(x)
Bei Deiner Funktion geht das also so:
f (x) = 1/2 * (e^x + e^-x)
f´(x) = 1/2 * (e^x - e^-x)
f´´(x) = 1/2 * (e^x + e^-x)
Das Verhalten für x gegen +/- unendlich stellt sich so dar:
Die Konstante 1/2 ist zu vernachlässigen.
e^x strebt gegen unendlich, e^-x geht dagegen gegen 0.
Daher ist der Term im Endeffekt unendlich groß.
Für negativ unendlich gilt dasselbe, nur umgekehrt,
das Ergebnis ist trotzdem identisch.
Die Extrema:
es gilt: f´(x)=0
also: 1/2 (e^x - e^-x) = 0 |*2
e^x - e^-x = 0 |+e^-x
e^x = e^-x
Der letzte Term ist nur wahr für x = 0.
Wir haben also nur eine Extremstelle. Der wert ist in f(x) einzusetzen,
um den dazugehörigen y-Wert zu bestimmen. Macht man dies, kommt man auf
y=1. Da f(x) und f´´(x) glücklicherweise identisch sind, weiß man auch sofort,
daß es sich um ein Minimum handelt, da f´´(0) = 1 positiv ist.
Bleibt noch die Stammfunktion.
Diese ist wiederum:
F(x) = 1/2 (e^x - e^-x)
für die Grenzen -1 bis +1 setzt man:
F(1) - F(-1) also:
(1/2*e - 1/2*e^-1) - (1/2*e^-1 - 1/2*e) =
1/2*e - 1/2*e^-1 - 1/2*e^-1 + 1/2*e =
e + e^-1
--------
Zum Zeichnen: Nimm die ausgerechneten Hilfspunkte, rechne noch ein paar Zwischenwerte aus,
dann zeichne das Teil.
Viel Erfolg, war mir ein Vergnügen!
SM |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Januar, 2000 - 17:40: |
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-o.g. Fkt. ist die Fkt. cosh(x)
-1. Ableitung: sinh(x) oder 1/2*(e^x-e^-x)
-2. Ableitung: cosh(x) oder wie f(x)
-limes gegen unendlich ergibt unendlich
(e^oo+1/e^oo) ist oo
-limes gegen minus unendlich ergibt unendlich
(1/e^oo+e^oo) ist oo
-Extremstelle: Minimum bei (0|1)
-Stammfkt. von f(x) is wie 1. Ableitung also 1/2*(e^x-e^-x)+c
-Integral von -1 bis 1 ist: e-1/e
-Graph ist dem von x^2 ähnlich also nach oben geöffnete Parabel |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2000 - 19:50: |
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Wie bekomme ich die Unstetigkeitsstellen bei einer Kurvenuntersuchung gebrochenrationaler Zahlen heraus?
Könnt Ihr mir das am folgenden Beispiel zeigen!
Wäre nett, wenn Ihr mir das erklären könntet und für folgende Funktion eine vollständige Kurvenuntersuchung zeigen könntet.
Beispiel: x³-1/x²-3x (bitte mit Lösungsweg) |
Randy
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2000 - 23:46: |
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zum bestimmen der Unstetigkeitsstellen den Nenner
Null setzen
also
0=x2-3x
0=x(x-3)
NST bei x=0 und x=3
an diesen Stellen ist die gebrochenrationale Fkt. nicht definiert, da hier der Nenner Null ist
zum genauen Verhalten der Fkt. an diesen Stellen
muß man links- und rechtsseitige Grenzwertbetrachtungen durchführen
also
linksseitger Grenzwert an der Stelle x=0
lim x®0-((x3-1)/x2-3x))=-¥
rechtsseitger Grenzwert an der Stelle x=0
lim x®0+((x3-1)/x2-3x))=¥
linksseitger Grenzwert an der Stelle x=3
lim x®3-((x3-1)/x2-3x))=-¥
rechtsseitger Grenzwert an der Stelle x=3
lim x®3+((x3-1)/x2-3x))=¥
d.h. die Fkt. verschwindet an den Stellen x=0 und x=3 im Unendlichen, jeweils einmal nach oben und einmal nach unten
vollständige Kurvendiskussion würde viel Rechnerei und Schreiberei ergeben da bereits die erste Ableitung der Fkt. 4-ten Grades ist
hab´ ein bischen dran rumprobiert, macht wie gesagt ´ne Menge Arbeit, da die NST nicht so einfach zu finden sind
Sorry!! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 21:01: |
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Wäre echt froh ein Rezept mit AUSFÜHRLICHER BESCHREIBUNG der wichtigsten Dinge, die man bei einer Kurvendiskussion braucht zu sehen. |
Wini (Wini01)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 21:36: |
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Weis nicht in wie weit es dir weiter hilft
Schema zur Funktionsuntersuchung
0.1 Definitionsbereich
ganz rationale Funktion gebrochen rationale Funktion
IDf = IR Nullstellen des Nenner =>Definitionsbereich
0.2 Differenzierbarkeit
Differenzierbar innerhalb des Definitionsbereich
0.2.1 Ableitungen
f (x) = c => f‘ (x) = 0
f (x) = mx => f‘ (x) = m
f (x) = x² => f‘ (x) = 2 x
f (x) = x³ => f‘ (x) = 3 x²
f (x) = x4 => f‘ (x) = 4 x³ Potenzregel
f(x) = x n
=> f‘ (x) = n * n -1
0.3 Symmetrie
ganz rationale Funktion gebrochen rationale Funktion
nicht symmetrisch  gemischt  beide gemischt
 einer Gemischt
achsensymmetrisch  nur gerade  beide gerade
 beide ungerade
punktsymmetrisch  nur ungerade  einer gerade und einer ungerade
1.1.1 f(x)-Achsenabschnitt
0 für x einsetzen
f(0) =
1.1.2 Nullstellen (x-Achsenschnittpunkt)
ganz rationale Funktion gebrochen rationale Funktion
f(x0) = 0 Nullstellen des Zähler ausrechnen; Bedingung f(x0) = 0
Definitionsbereich beachten!!!
=> Nullstelle + Definitionslücke=> kann hebbare Definitionslücke sein.
1.2 Extrempunkte
1.2.1. notwendige Bedingung
Nullstelle der 1. Ableitung
f‘(xE) = 0
1.2.2 hinreichende Bedingung
xE einsetzen in zweite Ableitung
f‘‘(xE) > 0 dann Tiefpunkt
f‘‘(xE) 
1.5.2 Verhalten an den Definitionslücken
siehe auch 1.5.1
hebbare Definitionslücken wenn es sich im Nenner weg kürzt.
Polstelle mit VZW (Vorzeichennwechsel) wenn Potenz nach dem kürzen er Linearfaktoren im Nenner ungerade ist
Pollstelle ohne VZW wenn Potenz nach dem kürzen er Linearfaktoren im Nenner gerade ist.
2.1 Wertetabelle
alles Ergebnisse eintragen
2.2 Wertebereich
|W f = meist |R (y-Achse)
2.3 Funktionsgraph
Asymptote
 Senkrechte Asymtote bei Polstelle.
 Wagerechte Asymptote beim Grenzwert, wenn der Grad des Zählers gleich oder kleiner ist als der Nenner.
 Schräge Asymptotet falls Zähler grö´ßer als Nenner (=> Polynomdivision) |
Katja
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Juni, 2000 - 22:38: |
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Kann mir bitte vielleicht dringend mal jemand
bei den beiden folgenden Aufgaben ein wenig unter die Arme greifen?? Waere toll, denn ich muss in Mathe in die in einer Woche in die muendliche Pruefung.
Herzlichsten Dank!
Gegeben ist eine Funktion f mit
0,5x
y=f(x)=(x-3)e
1. Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen
von f mit den Koordinatenachsen
Untersuchen Sich das Verhalten der
Funktion f für (x->+-Unendlich) plus und minus
2. Bestimmen Sie Extrem- und Wendepunkte!
(einschließlich Nachweise)
3. Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im
Intervall [-2;4]!
4. Weisen Sie nach, daß die Funktion
0,5x
F mit y=F(x)=(2x-10)e eine Stammfunktion
der gegebenen Funktion ist!
5. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von
den Koordinatenachsen und der Kurve der
gegebenen Funktion f vollständig
eingeschlossen wird.
*********** -x
Gegeben sei die Funktion f(x) =1+x+e
1. Bestimmen Sie die erste, zweite und dritte
Ableitung der Funktion f(x)
2. Berechnen Sie dei Koordinaten des absoluten
Minimums von f(x)
Zeigen Sie, daß die Funktion keinen Wendepunkt
hat!
3. Stellen Sie die Funktion f(x) und die Funktion
-x
g(x) mit g(x) =e graphisch dar!
4. Bestimmen Sie den Schnittpunkt von f(x) und
g(x).
5. Die Funktionen f(x), g(x) und die Grade x=1
schließen eine Fläche ein. Berechen Sie den
Flächeninhalt! |
Fuzzylogik (Tommy123)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juni, 2000 - 17:13: |
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Ach hallo Katja!
Ich habe eben Deine erste Aufgabe gerechnet. Ich stelle sie gleich ein. War eine gute Vorbereitung für meine mündliche Prüfung am Freitag!
Grüße
***Fuzzylogik*** |
Fuzzylogik (Tommy123)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juni, 2000 - 17:46: |
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So, ich bins nochmal. Muss das offline schreiben.
Schnittpunkte
1.) Sx: in der Gleichung ist netterweise ein "Linearfaktor" vorhanden, aus dem man Sx ablesen kann: Nullstelle (3/0).
2.) Sy durch Einsetzen von x=0 ergibt sich (0/-3)
Limes
3.) für x gegen unendlich = unendlich: e hoch unendlich wird immer größer.
4.) für x gegen minus unendlich = 0. Satz: "Der Grenzwert eines Produktes ist gleich dem Produkt der Grenzwerte" also die beiden Faktoren getrennt einer kleinen Untersuchung unterziehen, Ergebnis multipl., ergibt 0 (e hoch minus unendlich konvergiert gegen 0).
5.) Ableitungen
Hier versuche ich generell immer einen "Linearfaktoren" im Zähler zu bekommen, denn das ergibt eine leicht zu erkennende Nullstelle fürs Bestimmen der besonderen Stellen.
Zusammengefasst ergibt sich:
f`(x)= (e^(0.5x) * (x-1)) / 2 (Produktregel)
f``(x) = (e^(0.5x) * (x+1)) / 4 (Summen-, Produktregel)
f```(x) = (e^(0.5*x) * (x+3)) / 8 (Summen-, Produktregel)
6.) Extrema
Tiefpunkt bei (1/-3.297), was sich leicht ergibt, wenn man wie oben schon gesagt den "Linearfaktor" im Zähler gebildet hat.
7.) Wendepunkt
Wendepunkt rechts-links bei (-1/-2.426)
8.) Integral berechnen
Mit der Produktregel. Ich hatte eingesetzt:
u = (x-3); u`=1
v`= e^(0.5x); v = 2*e^(0.5x)
Das hat den Vorteil, dass sich das Produkt u`*v "totläuft", weil u`=1 ist, so dass nur noch der Bestandteil mit e vorhanden ist, dessen Integral = 4*e(0.5x) ist.
Wie dem auch sei, das von Dir gewünschte Ergebnis kommt raus, nachdem man die ganze Sache ein bisschen zusammenfasst.
9.) Die Fläche.
Die Nullstelle x=3 ist ja bekannt, ebenso dass die Funktion einen linksseitigen Grenzwert bei x=0 hat. Also ist sie links der Ordinate nicht integrierbar, und x=0 bildet die Untergrenze. Da das ganze dann auch noch unterhalb der Abszisse liegt, habe ich mit Beträgen gearbeitet. Heraus kam zu guter Letzt A 0 bis 3 = 7.9268 FE.
10.) Skizze
Wie man sieht, bin ich mit den Formatierungstools hier nicht so firm, deshalb kann ich einen Ausdruck vom Funktionenplotter hier nicht einstellen. Es gibt aber einen hier auf der site.
Falls genauere Rechenwege erwünscht, stelle ich Sie ein.
Viel Erfolg bei der Prüfung,
***Fuzzylogik*** |
Fuzzylogik (Tommy123)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juni, 2000 - 17:54: |
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P.S.: wenn jemand Ungereimtheiten obendrin entdeckt, bitte posten! |
Fuzzylogik (Tommy123)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juni, 2000 - 22:08: |
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Hallo nochmal,
weils so schön war habe ich die zweite Aufgabe auch durchgerechnet. War ja auch nicht ganz so umfangreich wie die erste.
1.) Ableitungen (Summenregel)
f`(x) = 1-e^(-x)
f``(x) = e^(-x)
f```(x) = -e^(-x)
2.) Minimum. Hier ergibt sich
-1 = e^(-x)
das ist gleich -1 = -e^(-x)
weshalb man nun nach Multipl. mit (-1) den ln ziehen kann, und erhält 0=x des Extremums. Koordinaten insgesamt (0/2).
3.) Zeigen, dass kein WP vorhanden. Man macht den Ansatz f``(x)=0 und stellt sogleich fest, dass hier ln nicht möglich ist: ln0 = n.d., also existiert kein Wendepunkt.
4.) Grafik
Tja, mein Manko... vielleicht nur kurz, dass Exp.-Fn. immer den Sy (0/1) haben, da die Potenz 0 für jede Basis das Ergebnis 1 ergibt. Es sei denn, wie bei Deiner f(x)liegt eine Erweiterung vor, so dass bei dieser Sy (0/2) ist.
5.) Schnittpunkt durch Gleichsetzen bestimmen ergibt (-1/e)
6.) Bestimmen der Fläche zwischen f(x) und g(x), begrenzt durch Ordinate und Senkrechte x=1: subtrahiere g(x) von f(x) und integriere die res. Fn., so dass F(x)=x+0.5*x^2+C entsteht, wobei C wegfällt, da es sich um ein bestimmtes Integral handelt.
NSt liegen keine im Integrationsintervall, die Fläche liegt über der Abszisse, so dass man nicht mit Beträgen zu arbeiten braucht.
Es ergibt sich dann A 0 bis 1 = 3/2 FE
So long,
***Fuzzylogik*** |
Matt
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 21:15: |
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Hallo!
Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen:
Ich such die 1. und 2. Ableitung dieser Funktion:
(3x-1)/[(1-x)³]
Vielen Dank |
Pepe
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 21:29: |
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Du musst einfach stur Quotientenregel und Kettenregel anwenden. Schau diese Regeln vielleicht noch einmal im Online-Mathebuch nach. Ich verrate Dir das Ergebnis, dann kannst Du Deine eigenen Rechnungen kontrollieren:
3/(1-x)^3 + 3(3x-1)/(1-x)^4 |
Pepe
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 21:32: |
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Gemeint war gerade eben die erste Ableitung. Die zweite lautet:
18/(1-x)^4 + 12*(3x-1)/(1-x)^5 |
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