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Photograph

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Differentialrechnung » Extremwertaufgaben » Sonstiges » Photograph « Zurück Vor »

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Romi
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Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 17:50:   Beitrag drucken

Ich brauch unbedingt Hilfe!!!
Ein Photograph sucht sich einen Punkt C auf seiner Straße, von dem aus er die Häuserfront(=Strecke AB) auf einer anderen Straße gut und groß photographieren kann.
Gegeben sind der Winkel alpha(= der Winkel den die zwei Straßen einschließen) l(=die Strecke von dem Knickpunkt der beiden Straßen bis zum Punkt A) d(=die Strecke AB). Gesucht ist der Winkel beta(maximal) (= Winkel bei C im Dreieck ACB).

Danke schon mal
Romi
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Anonym
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Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 13:14:   Beitrag drucken

Hallo Romi,
bei so ner Extremwertaufgabe soll doch immer was maximiert oder minimiert werden. Was ist denn hier genau gesucht?
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 18:07:   Beitrag drucken

Der Winkel, unter dem das Haus zu sehen ist, zu maximieren.
Zeichnung:
photograph.jpg,photograph.jpg
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 18:08:   Beitrag drucken

Der Winkel, unter dem das Haus zu sehen ist, zu maximieren.
Zeichnung:
1,photograph.jpg
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 18:10:   Beitrag drucken

1,photograph.jpg
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 18:20:   Beitrag drucken

Ich kann's nicht mehr.
Hier der Link http://matroid.optimath.de/img/photograph.jpg
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Romi
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Juli, 2001 - 21:21:   Beitrag drucken

Hallo Matroid,
wie kommst du drauf, dass der Winkel 15° haben muss?
Romi
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Romi
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Veröffentlicht am Montag, den 09. Juli, 2001 - 13:51:   Beitrag drucken

Hallo,
Bitte hilf mir und erklär mir das. BITTE,BITTE,BITTE
Romi
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Romi
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Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 13:26:   Beitrag drucken

Ich bin's schon wieder. Ich muss diese Aufgabe bis spätestens Freitag gelöst haben und hab keine
Ahnung. BITTE,BITTE helft mir
Romi
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 15:58:   Beitrag drucken

Hi Romi,
ich war ein paar Tage verreist.
Bis Freitag, sagst Du?
Ich melde mich noch mal.
Gruß
Matroid

PS: Die 15° sind nur ein Beispiel.
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 21:08:   Beitrag drucken

Hi Romi,
hier der Ansatz, mit Cosinus-Satz.
Ich vergebe noch folgende Bezeichnungen:
x ist die Strecke von C zur Straßenkreuzung.
y ist die Länge der Strecke von C nach A.
z ist die Lange der Strecke von C nach B.
Der Winkel in C, unter dem man die Strecke AB sieht heisse gamma.
Dann gilt:
y² = x² + l² -2xl*cos(alpha)
z² = x² + (d+l)² -2x*(d+l)*cos(alpha)
und d² = z² + y² - 2x*(d+l)*cos(gamma)
[dreimal Cosinus-Satz]
Der Winkel gamma unter dem von einem beliebiegen Punkt C aus die Strecke AB zu sehen ist, liegt sicherlich zwischen 0 und 180°, also 0 und pi.
In diesem Intervall ist cos(gamma) streng monoton fallend, insbesondere eben eindeutig und darum kann ich die drei Gleichungen umformen und nach gamma auflösen:
gamma = arccos[ (z²+y²-d²)/(2zy) ]
gamma ist eine Funktion von x, y und z auch, also schreibe ich
gamma(x) = arccos[ (z²(x)+y²(x)-d²)/(2z(x)*y(x)) ]
Gesucht ist ein Maximum von gamma(x). Das findet man durch Ableiten, mit Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel (eben allem, was es gibt).

Um die Schreibung zu verkürzen nenne ich
u(x) = (z²(x)+y²(x)-d²)/(2z(x)*y(x))
Die Ableitung von arccos(u(x)) ist -1/Ö(1-u²(x)) *u'(x). In diesem Ausdruck ist der Nenner für die Nullstellen ohne Bedeutung. Gesucht ist also eine Nullstelle von u'(x) (also mögliches Extremum).

So weit bin ich. Nun fängt die Arbeit mit dem Ableiten an. Machst Du mit?

Gruß
Matroid
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Romi
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Juli, 2001 - 16:26:   Beitrag drucken

Hallo Matroid
ich würde dir ja gerne helfen, aber was bedeutet arccosinus...??? Das haben wir noch nicht durchgenommen.
Romi
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Juli, 2001 - 16:48:   Beitrag drucken

Hmm,
arccos ist die Umkehrfunktion des cos.
Wenn cos(alpha) = x, dann ist arccos(x) = alpha.
Aber umkehrbar ist der Cosinus jeweils nur in bestimmten Intervallen. Weil Cosinus eine periodische Funktion ist, gibt es verschiedene Winkel, mit dem gleichen Wert für den Cosinus. Beispiel: cos(0°) = cos(360°). Aber hier in der Aufgabe muß der Cosinus auch nur für Winkel zwischen 0° und 180° umgekehrt werden. Der Winkel alpha ist dann um so größer, je kleiner cos(alpha) ist.
Man braucht hier den arccos, weil ein Winkel gesucht ist (nämlich gamma).

Meine Meinung: diese Aufgabe ist sehr schwer, weil man neben der ganzen Differentialrechnung auch noch die komplette Trigonometrie braucht. In Klasse 10 hast Du sicher Trigonometrie gehabt und dabei auch arccos gelernt.

Aber eigentlich habe ich ja schon alles aus der Trigonometrie erforderliche hier aufgeschrieben.
Du mußt jetzt mit den von mir entwickelten Formeln und Funktionen die Extremwerte suchen (also u'x)=0). Auch das ist nicht so einfach (weil es ziemlich lang wird), aber daz brauchst Du nur den Stoff von diesem Jahr.

Gruß
Matroid
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Romi
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 13:04:   Beitrag drucken

Wir haben in der 10.ten Klasse keinen arccosinus durchgenommen. Wäre es vielleicht möglich, das irgendwie anders zu lösen ohne arccosinus???:-)
Romi
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Lupo
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 14:21:   Beitrag drucken

Hi Romi, wie habt ihr die Winkel eines Dreiecks ausgerechnet, wenn drei Seiten des Dreiecks (also sss) gegeben waren?

Wenn ihr das nicht gemacht habt, kann es wirklich sein, dass du die Umkehrung des Cosinus nicht kennst.

Kein Problem, das kannst du noch schnell z.B. hiermit: http://www.fritzenkoetter.org/pages/Claus/Schule/KZ/Klassen/11/Aufgaben/m11wh1.htm nachholen.
Wie man allerdings die Ableitung der Arcuscosinusfunktion bilden kann, ohne in Klasse 11 schon die Ableitung von Umkehrfunktionen behandelt zu haben, weiß ich auch nicht.

Hier im Board leider nur Beispiel mit Ableitung des Arcussinus

Tabelle der wichtigsten Ableitungen: http://www.wiso.uni-augsburg.de/vwl/lampert/Differentiationsregeln.htm
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Lupo
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 14:44:   Beitrag drucken

Auf http://www.fritzenkoetter.org/pages/Claus/Schule/KZ/Klassen/11/Aufgaben/m11wh1.htm ist übrigens die richtige Antwort diejenige von Tim, Martina hat nicht berücksichtigt, dass sie mit dem Sinussatz stets zwei Winkel erhalten muss, von denen aber nur einer richtig sein kann.
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 14:48:   Beitrag drucken

Hi Lupo, danke für die Unterstützung.
Und an Romi vielleicht ein Tipp:
Ich gehe davon aus, daß diese Aufgabe eine Hausaufgabe ist. Also haben alle anderen Schüler aus deiner Klasse die Aufgabe auch. Wie kommen denn die anderen damit zurecht? Hat da jemand einen Ansatz, der genau das verwendet, was ihr auch schon hattet? Frag doch mal rum.
Vielleicht kommt daher eine Information, die mir (uns) hilft, dir zu helfen.
Gruß
Matroid
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Romi
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 17:44:   Beitrag drucken

Diese Hausaufgabe ist freiwillig und deshalb will sie niemand lösen, darum kann ich auch niemand fragen ob er einen Ansatz hat.
Sorry
Romi
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Romi
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 18:24:   Beitrag drucken

Hallo, ich bin's nochmal. Ich hab's jetzt mal selber probiert, und zwar wenn ich die erste Gleichung nach cos(alpha) auflöse und in die zweite Gleichung einsetze und dann das was ich für z² rausbekomme in die dritte Gleichung einsetze und anschließend nach cos(beta) auflöse kommt nach langem rechnen folgendes heraus:
cos(beta)= (x²+d²*y²-d²*x²-d²*l²+2dly²-6dlx²-2dl³+l²*y²-l²*x²-l(hoch4)+2lxy²-2xld²)/(4*x²*l²)

Aber wie muss ich da jetzt weitermachen? Muss ich davon jetzt die Ableitung bilden?
Romi
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Juli, 2001 - 22:14:   Beitrag drucken

Ok, die Zeit ist wohl abgelaufen. Falls Dein Lehrer die Lösung erklärt, dann sag's mir doch mal weiter. Bin gespannt.
Und noch: wenn es eine Extra-Aufgabe war, dann hoffentlich für eine Eins und nicht gegen eine Fünf.
Gruß
Matroid

PS: Ich habe nicht nachgerechnet, ob Dein cos beta richtig ist. Aber ich kann bestätigen, daß sehr unangenehme Ableitungen vorkommen.
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Romi
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Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 12:55:   Beitrag drucken

Hi Matroid,
ich muss dich leider enttäuschen. Mein Lehrer hat uns nochmal eine Woche Zeit gegeben um das zu lösen, da bis jetzt niemand eine Lösung hatte.Aber nochmal zu meiner Lösung, muss ich davon jetzt die Ableitung bilden um beta(maximal) zu erhalten?
Romi
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 13:05:   Beitrag drucken

Um so besser.
Ja, Du mußt ableiten und Nullstelle der Ableitung suchen. Da der cos in [0,pi] fällt, ist beta um so größer, je kleiner cos beta ist. Du suchst also ein Minimum für cos beta in [0,pi].
In deiner Darstellung von cos(beta) hast du x und y. Aber y ist auch von x abhängig.
Du mußt also y auch noch als Funktion von x ausdrücken. Ich hatte das oben schon gemacht.
Meine Funktion u(x) sollte mit Deiner cos(beta) übereinstimmen.
PS: Ich verreise jetzt bis Montag.
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 13:08:   Beitrag drucken

PS 2: Die Funktion u(x) enthält auch keinen arccos!
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 13:11:   Beitrag drucken

PS 3: Du berechnest also minimales cos(beta). Und wie findest Du dann beta? Durch arccos(cos(beta))
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sonny
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Veröffentlicht am Freitag, den 13. Juli, 2001 - 23:02:   Beitrag drucken

Hallo Matroid,
die Schüler lernen heute keine Arcus-Funktionen mehr.
wenn cos(x)=0,8 ist, bekommen die Schüler gesagt, daß sie vorher die "2nd"-Taste drücken müssen um x auszurechnen.

sonny

PS: In NRW soll in der Schule das Bruchrechnen per erlaß wegfallen, weil alle Schüler einen Taschenrechner haben, der notfalls Bruchrechnen kann.
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 22:15:   Beitrag drucken

Hi sonny,
ist das wahr?
Dann wurde arccos umbenannt in 2ndcos?
Aber Dein Zusatz zum Bruchrechnen wundert mich schon sehr.
Dann könnte man auch sagen, daß Prozentrechnung wegfallen kann, weil alle Schüler einen Taschenrechner haben.
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Romi
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juli, 2001 - 13:29:   Beitrag drucken

Hallo,
ich hab jetzt endlich meine Ableitung fertig. Wäre nett wenn du sie korrigieren könntest.
cos(beta)'= (4dxy²+4d²lxy+20dlx3-8dl3x+d²l²x+8lxy²+8dl²xy-lx3y-8dl²x²-8l4x²+4l3xy+8l²x²y-4d²lx-4d²ly²+4d²l3x-4dl²x²+8dl4x-4l3y²+4l5+43-4d²xy²+4d²x3-8dlxy²-8lx²y²+8d²lx²)/(8x3l3)

Aber was muss ich jetzt noch tun?
Romi

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