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rehst
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 14:47: | 
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bitte kann mir jemand mit dieser aufgabe helfen, ich bin am verzweifeln. ich brauche die lösungen so schnell wie möglich. vielne dank, bei dem oder derjenigen die mir hilft.
die aufgabe:
Der Graph einer Schar g.r. Funktion f(x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, BERUEHRT dort den Graphen der Schar der kGeraden g: y= -kx und schneidet die x-Achse an der Stelle x0=k. Dabei sei für alle Teilaufgaben k>0.
*= multiplikation
^= hoch
a.)
Zeigen Sie, dass die Gleichung der Schar f(x) lautet: f(x)= (1/k)*(x^3)-kx.
Zeichnen Sie den graphen für f2(x).
b.)
Die Schar der Normalen im Wendepunkt der Schar
f(x) schneidet f(x).
Wie lauten die Koordinaten der Schnittpunkte?
c.)
Welches ist der geometrische Ort aller Schnittpunkte aus b), wenn k alle zulässigen Werte durchläuft ( oder: auf welcher Kurve "laufen" die Schnittpunkte aus b), wenn...)
d.)
Hat die Schar Fixpunkte? Wenn ja: welche?
e.)
Unter welchen Winkeln schneiden sich f2(x)und
h(x)=-(2/x)? |
Lerny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 18:09: |
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zu a)
f(x)=(1/k)*x³-kx
wegen f(0)=(1/k)*0³-k*0=0 geht der Graph durch den Ursprung.
Da f(x)=(1/k)*x³-kx nur ungerade Exponenten für x besitzt, ist f(x) punktsymmetrisch.
Wegen f'(x)=(3/k)x²-k folgt f'(0)=-k. Damit berührt f(x) im Ursprung die Gerade g (wegen gleicher Steigung).
Wegen f(k)=(1/k)+k³-k²=0 schneidet f(x) die x-Achse für x0=k.
Zeichnung für f2(x)=(1/2)x³-2x kannst du sicher selber.
b) Wendepunkt von f(x) bestimmen:
f"(x)=(6/k)x=0 <=> x=0
Wendetangente ist dort y=-kx
Normale: y=(1/k)x
Schnittpunkte mit f(x)
(1/k)x³-kx=(1/k)x |*k
x³-k²x=x
x³-k²x-x=0
x(x²-k²-1)=0
x=0 oder x²-k²-1=0
x=0 oder x²=k²+1
x=0 oder x=+-Ö(k²+1)
mfg Lerny |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 12:11: |
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Hi rhest,
Wir lösen noch die restlichen Teilaufgaben c) d) und e):
Zu c)
Wir erhalten eine Koordinatengleichung der Ortskurve
der genannten Schnittpunkte, indem wir aus ihrer
Parameterdarstellung (siehe Lösung der Teilaufgabe b))
den Parameter k eliminieren.
Parameterdarstellung: y = 1 / k * x , y = (+- )wurzel(k^2+1)
Daraus k ^2 = x^2 - 1 , k = wurzel (x^2 -1 ) mit abs(x) > 1.
Eingesetzt: in die erste Gleichung ergibt:
y = 1 / wurzel (x^2 - 1 ) * x
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zu d)
Der Nullpunkt O ist ein Fixpunkte der Schar, weil alle
Scharkurven durch ihn gehen.
Es gibt keinen weitern Fixpunkt, da ansonsten
z.B. die beiden Scharkurven für k = 1 und k = 2 sich in
einem von O verschiedenen Punkt schneiden müssten,
was nicht zutrifft, wie die folgende Rechnung zeigt:
k=1 : f1 = x^3 - x
f2 = ½ * x^3 - 2 x
Die Schnittbedingung führt auf die Gleichung:
x * ( x^2 +2 ) = 0 mit der einzigen Lösung x = 0 für den
Nullpunkt O.
zu e)
f2 (x) = ½ * x ^ 3 - 2 * x ,
Schnittpunkte mit h(x) = - 2 / x aus der Gleichung:
½ * x ^ 3 - 2 * x = - 2 * x
Es entsteht die biquadratische Gleichung:
x ^ 4 - 4 x ^2 + 4 = 0 , welche wir sogleich vereinfachen zu
( x ^ 2 - 2 ) ^ 2 = 0 , woraus sofort die Lösungen
x = xo1 = wurzel(2) und x = xo2 = - wurzel (2) entspringen
Jetzt ermitteln wir die Ableitungen der beiden Funktionen
f2(x) und h(x) und ihre Werte für x = xo
Wegen der Symmetrie genügt es, nur x=xo1 einzusetzen
und x = xo2 zu ignorieren .
Ableitung f2 ' (x) = 3/2 * x ^ 2 - 2 ; Wert f ' (xo) = 1
h ' (x) = 2 / x ^ 2 ; Wert h ' ( x o) = 1
Die beiden Ableitungen stimmen überein . Dies bedeutet ,
dass sich die Kurven im Punkt Po ( xo / yo ) berühren
Der Schnittwinkel ist null.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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