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Beitrag |
    
Pinky
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Juni, 2001 - 19:11: | 
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Drei Bretter, die die gleiche Breite b haben, sollen zu einer Wasserrinne zusammengebaut werden, deren Querschnitt ein gleichschenkliges Trapez ist. Unter welchem Winkel müssen die Bretter zusammenstoßen, wenn das Fassungsvermögen maximal werden soll? |
Xell
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Juni, 2001 - 21:41: |
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Hi Pinky,
die Lösung vorweg: beide Winkel müssen 120° sein.
Hier die Lösung:Die Länge der Bretter sei b und die Winkel (b,b) und (b,b) seien (beta). Es ensteht ein Trapez. x sei die Länge des Lotes zwischen den beiden parallelen Seiten und y sei die parallel entstehende Verlängerung von b, wodurch zwei Dreiecke und ein Rechteck (oder eben insgesamt ein Trapez) enstehen.
1. Aufstellen der Funktion des Flächeninhaltes:
A = 2 * 1/2 * x * y + b * x = x * y + x * b
2. und 3. Außerdem wissen wir um trigonometrische Beziehungen in den beiden kongruenten entstehenden Dreiecken:
sin(beta - pi/2) = y / b <=> y = b * sin(beta - pi/2)
cos(beta - pi/2) = x / b <=> x = b * cos(beta - pi/2); gamma := beta - pi/2
=> A(gamma) = b² * sin(gamma) * cos(gamma) + b² * cos(gamma)
<=> A(gamma) = b² * (sin(gamma) * cos(gamma) + cos(gamma))
4. Def.Menge: b e ]0;oo[ und beta e ]0;pi[ => gamma e ]0;pi/2[
5. Die Funktion ist problemlos differenzierbar, da hier nur elementare Funktionen vorkommen, die bekanntlich problemlos diff.bar sind.
A(gamma) / dgamma = b² * (cos(gamma) * cos(gamma) - sin(gamma) * sin(gamma) - sin(gamma))
<=> A'(gamma) = b² * (cos²(gamma) - sin²(gamma) - sin(gamma)
mit cos²(x) = 1 - sin²(x)
=> A'(gamma) = b² * (1 - sin²(gamma) - sin²(gamma) - sin(gamma)) = b² * (-2 * sin²(gamma) - sin(gamma) + 1)
=> A'(gamma) = 0 <=> b² * (-2 * sin²(gamma) - sin(gamma) + 1) = 0
<=> b² = 0 => b = 0 (sinnlos, da kein Dreieck vorhanden) oder -2 * sin²(gamma) - sin(gamma) + 1 = 0
<=> sin²(gamma) + 1/2 * sin(gamma) - 1/2 = 0
Per p-q-Formel: sin_1,2(gamma) = -1/4 +/- wurzel(1/16 + 1/2) = -1/4 +/- wurzel(9/16) = -1/4 +/- 3/4
=> sin_1(gamma) = 1/2 und sin_2(gamma) = -1 (entfällt, da gamma = -pi n.e. Def.menge)
=> gamma = arcsin(1/2) = pi/6 => beta = pi/6 + pi/2 = 2/3 * pi (entsprechend 120° im GM)
Der Flächeninhalt beträgt in diesem Fall: A_max = b² * (1/2 * 1/2 * wurzel(3) + 1/2 * wurzel(3)) = 3/4 * wurzel(3) * b²
~ 1,3 * b²
6. lim [gamma->0] b² * (sin(gamma) * cos(gamma) + cos(gamma)) = b²
lim [gamma->pi/2] b² * (sin(gamma) * cos(gamma) + cos(gamma)) = 0
Da die Werte an den Rändern kleiner sind als das gefundene Extremum handelt es sich bei dem lokalen Ex. um das Maximum.
7. Bei einem Winkel von beta = 2/3 * pi wird der Flächeninhalt eines aus drei gleichlangen Brettern und einem einer abschließenden Linie gebildete Trapez maximal.
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mfG |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 00:17: |
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Soweit alles verstanden? :-) |
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