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Jessica
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Januar, 2000 - 16:31: | 
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Hi,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Es wäre toll, wenn mir jemand den Beweis erklären könnte.
Sei S die Sägezahnfunktion. Definiere die Funktion f:R->R durch f(x) = Summe von 0 bis Unendlich von ( 2 hoch -n)*S*((2hoch2n)*x)
a) Zeige, dass f dann eine stetige Fkt ist, die in keinem Intervall monoton ist.
b) Zeige, dass f in keinem Punkt differenzierbar ist.
Danke Jessica |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Januar, 2000 - 19:30: |
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Hallo Jessica,
Schritt 1 sollte die Konvergenz für alle x aus R sein. Das ist klar, da S beschränkt ist.
Schritt 2 Hier würde ich die Periode der Funktion zeigen. Dadurch kannst Du Dich auf das Intervall[0,1) beschränken
Schritt 3 Wähle Dir eine (beliebige) gegen einen Punkt konvergente Folge und zeige, dass die Grenzwertbildung vertauschbar ist.
Schritt 4 Konstruiere eine gegen moonton einen Punkt konvergente Folge, bei der der Funktonswerte nicht monoton ist
Schritt 5 anoalog zu 4 mit dem Differenzenquotienten |
Jessica
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Januar, 2000 - 20:40: |
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HI,
erst mal danke, für deine Hilfe!
Leider habe ich echt keine Ahnung, wie ich Schritt 1-5 zeigen soll. Was davon bezieht sich denn auf a und was auf Teil b?
Könntest du mir vielleicht noch ein bissel helfen?
Wäre echt super lieb!
Danke Jessica |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Januar, 2000 - 07:38: |
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f(x) = Summe von 0 bis Unendlich von ( 2
hoch -n)*S*((2hoch2n)*x)
Schritt 1 (nur der Vollständigkeit halber)
S(x) kleinergleich 1 für alle x aus R =>
Summe[(2 hoch -i ) * S((2 hoch 2i) * x) ] von i=0 bis n
kleinergleich Summe[(2 hoch -i ) * 1] von i=0 bis n =>
lim( n->unendlich) existiert fa x aus R
Schritt 2 (periodisch)
sei X0 aus R
es ist X0 = [X0] + Y0 wobei [X0] der ganzzahlige Anteil von X0 sein soll => Y0 ist aus [01)
S((2 hoch 2i) * X0) = S((2 hoch 2i) *([X0] + Y0 )) = S((2 hoch 2i) * Y0 )) (ist klar??)
dies einsetzen in Summenformel
dadurch ergibt sich, dass Du ohne Einschränkung nur das Intervall [0,1) für alle
weiteren Teile zu betrachten brauchst |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Januar, 2000 - 07:39: |
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Schritt3 (Stetigkeit)
sei X0 aus [0,1)
sei (Ak) eine beliebige Folge mit lim (Ak) = X0
zz: lim f(Ak) = f(X0)
lim(k->unendlich)f(Ak) =
lim(k->unendlich) lim(n->unendlich)Summe[(2 hoch -i ) * S((2 hoch 2i) * Ak) ] von i=0 bis n =
(Satz über Vertauschung von Grenzprozessen !!)
lim(n->unendlich) lim(k->unendlich)Summe[(2 hoch -i ) * S((2 hoch 2i) * Ak) ] von i=0 bis n =
lim(n->unendlich) Summe[(2 hoch -i ) * S((2 hoch 2i) * lim(k->unendlich)Ak) ] von i=0 bis n =
lim(n->unendlich) Summe[(2 hoch -i ) * S((2 hoch 2i) * X0 ] von i=0 bis n =
=F(X0)
das war der leichte Teil....
muss jetzt arbeiten ....
werde aber noch weiter basteln....
da muss man geschickt Folgen konstruieren |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Januar, 2000 - 19:11: |
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So ,weiter gehts....
sei Ak = (2 hoch -k)
rechne mal rum dann siehst Du, dass
f(A2k)= 1/2 f(A(2k-1) und
f(A(2k+1)) = f(A2k) + (2 hoch -(2k +1)) gilt.
für k aus N natürlich !!
Daher ist die Funktion bei 0 nicht monoton, denn
die Folge konvergiert mononoton gegen =0, und die Funktionswerte steigen und fallen mit geraden und ungeraden Folgegliedern.
Da Monotonie eine lokale Eigenschaft ist, wählst Du für ein gegebenes X0 aus R eine Zahl der Form
Y0 = M * (2 hoch -N) mir M,N ganz und Y0 aus der Umgebung. Betrachte Bk = Y0 + Ak und die fehlende Monotonie wird sich ergeben.
(Saubere Argumentation ist mir mit diesem Editor zu umständlich) .... to be continued |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Januar, 2000 - 21:33: |
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Kann mir mal jemand erklären, was die "Sägezahnfunktion" bei euch ist? Vielleicht kann ich der Argumentation von Anonym dann auch folgen. Also nach meinem Verständnis ist
S(x) = x für -1 < x <= 1
und dann 2-periodisch auf R fortgesetzt. Hiermit ist f(x) aber keineswegs stetig!
Und wie lautet der "Satz über Vertauschung von Grenzprozessen"?? |
ruediger
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2000 - 13:11: |
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Hallo Zaph,
Du hast natürlich recht mit der Sägefkt...
Ich war von einer anderen Definition ausgegangen.
Riesenschlamperei war jedoch der Grenzübergang...
Die Argumentation funktioniert abseits von Zahlen
der Form (2n+1), da ich implizit die Stetigkeit von S ausgenutzt habe.
Satz war so etwa: Bij konvergiere für alle(fa)i bei festen j und umgekehrt. Dann konvergieren die
Folgen der Grenzwerte und gegen den gleichen Wert, d.h. man kann die Grenzübergänge vertauschen.
Die Voraussetzungen sind aber bei obigen Zahlen nicht gegeben; sonst aber schon.
Fehlende Monotonie ergibt sich aber aus obiger Folge. Oder hab ich mich da noch verrechnet?
(Rechnet mal nach !!! Man sollte so etwas wohl nicht in der U-Bahn machen....)
Bevor wir die Aufgabe komplett lösen, sollten wir uns aber einig bzlg. der Funktion und Aufgebenstellung sein...(->Jessica) |
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