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Matti (Matti)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 18:15: | 
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hallo!
ich soll bei folgender gleichung die 0-stellen und die extremstellen finden. zweiteres wäre sicher kein problem, wenn ich die verflixten nullstellen finden würde:
f(x)=x^4/4 + x^3/3 - 2x
bitte hilfeee!
danke.matti |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 18:19: |
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Hi Matti,
eine Nullstelle "sieht man" sofort: x=0.
Dieses ausklammern ergibt:
f(x) = x * (x³/4 + x²/3 -2)
Nun muß man weitere Nullstellen von
x³/4 + x²/3 -2 suchen.
Aber zuerst mal zu den Extrema.
Die Extremstellen findet man, durch Nullsetzen der Ableitung (und das Vorzeichen der 2. Abl.).
f'(x) = x³ + x² -2
Eine Nullstelle sieht man: x=1. Ausklammern von (x-1) [Polynomdivision]:
f'(x) = x² * (x-1) + x² + x² -2
= x² * (x-1) + 2x² -2
= x² * (x-1) + 2x * (x-1) + 2x -2
= x² * (x-1) + 2x * (x-1) + 2 * (x -1)
= (x-1) * ( x² + 2x + 2)
Nun hat x²+2x+2 keine Nullstelle. Im Zweifel wende die p/q-Formel an.
Die zweite Ableitung ist: f''(x) = 3x² + 2x und f''(1) = 5 >0.
Also ist das einzige Extremum bei x=1 ein (lokales) Minimum.
Der Wert dort ist: f(1) = 1/4 + 1/3 -2 = -1.416_
Zurueck zu den Nullstellen: die Funktion hat nur ein Extremum, der Funktionswert dort ist <0. Darum kann es nur 2 Nullstellen geben. Eine ist schon gefunden (x=0), sie liegt links von x=1. Die andere liegt also rechts von x=1, d.h. ist größer als 1. Da f(1) negativ und f(2) positiv ist, liegt die gesuchte Nullstelle zwischen 1 und 2.
Mein Taschenrechner sagt 1.640234 (außer Konkurenz).
Mehr weiß ich jetzt nicht.
Gruß
Matroid |
Robert (Rpg)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 21:07: |
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Sorry.....siehe nächstes Feld |
Robert (Rpg)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 21:09: |
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Das kann ich durch folgene Darstellung verifizieren:
Die Nullstellen sind 0 und 1,64
Das Extremum ist T(1/-1,41666666)
Das Ergebnis hat auch mein Grafiktaschenrechner bestätingt!!!!!!! |
Matti (Matti)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Juni, 2001 - 08:08: |
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danke, ist mir alles klar... aber wie kann ich die nullstelle berechnen, ohne matheprogramm und ohne intervallschachtelung??? ich vermute ja fast, daß die angabe nicht ganz richtig ist und daß auf's letzte "2x" noch ein quadrat gehört. sonst ist's ja wirklich eine depperte aufgabe für ein mathebuch... oder??
matti |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Juni, 2001 - 17:47: |
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Wenn es mit Auflösen und bekannten Formeln nicht geht, dann bleiben nur noch die numerischen Methoden, z.B. das Newtonsche Iterationsverfahren.
http://matheplanet.de/default3.html?link=188.
Mit Kurvendiskussion will man ja die Eigenschaften der Funktion ermitteln und sich ein Bild vom Funktionsgraphen machen. Dazu muß man nicht unbedingt die Nullstelle auf mehrere Stellen genau haben. Wenn die Aufgabe wirklich so gestellt war, kann man in einer Klassenarbeit z.B. auch nicht mehr verlangen. |
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