| Autor |
Beitrag |
    
Matthias Lehleiter (Maleh)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 19:22: | 
|
Hallo,
weiß irgendjemand, wie man diese Aufgabe herausbekommt?
Der Graph einer zur y-Achse symmetrischen ganzrationalen Funktion h vom Grad höchstens 4 hat in W(2/0) einen Wendepunkt. Außerdem schneiden sich die beiden Wendetangenten senkrecht.
Beachte: Es gibt mehrere Lösungen für den gesuchten Funktionsterm.
Ich denke mal, dass die Funktion nur eine 4.Grades sein kann, denn dann hätte sie zwei Wendetangenten und einen 2. Wendepunkt bei (-2/0).
Ich danke jedenfalls für jede Anregung! |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 12:03: |
|
Das hast Du richtig erkannt : Zwei Wendestellen bedeutet ja,daß die 2.Ableitung zwei Nullstellen haben muß. Aufgeleitet bedeutet das für die Ursprungsfunktion,daß sie 4.Grades sein muß.
Aufgrund der Symmetrie kann folgender Ansatz gemacht werden :
f(x)=ax4+bx2+c
f'(x)=4ax³+2bx
f''(x)=12ax²+2b
Bekannt ist
(1) f(2)=0 -> 16a+4b+c=0
(2) f''(2)=0 -> 48a+2b=0
Was fehlt ist eine dritte Gleichung,um das Ergebnis eindeutig zu bestimmen. Diese verbirgt sich hinter dem Satz "Außerdem schneiden sich die beiden Wendetangenten senkrecht. "
f'(2)=32a+4b f'(-2)=-32a-4b
Es gilt f'(2)f'(-2)=-1 [da die Wendetangenten SENKRECHT aufeinander stehen]
Also
(3) (32a+4b)²=1
Aus (2) folgt b=-24a und das eingesetzt ergibt
(3) (-64a)²=1 => a1=1/64 oder a2=-1/64
somit ist b1=-24/64=-3/8 oder b2=3/8
und schließlich c=-4b-16a,d.h. c1=5/4 bzw. c2=-5/4
Also gibt es zwei Funktionen mit der geforderten Eigenschaft,nämlich
f1(x)=(1/64)x4-(3/8)x²+(5/4)
f2(x)=-(1/64)x4+(3/8)x²-(5/4) |
superssj
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 19:18: |
|
hi, ich hab nochmal ne Frage hierzu, ich komme nämlich nicht ganz mit...und zwar:
welche Überlegung hast du gemacht, um auf das mit
f'(2)......undf'(-2)......zu kommen.....ich kann von den senkrechten Tangenten keinen Bezug zur ersten Ableitung herstellen....sry
und auch die nächsten 3 Zeilen sind mir nicht klar.......hilf mir doch da bitte mal auf die Sprünge
das Einsetzen erscheint mir dann wieder einfach
thx in advance
hoffe, du schaust nochmal vorbei |
Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 21:34: |
|
Hallo superssj,
schau dir mal die Funktionen an:
Du siehst schön die Symetrie und die Wendepunkte.
Zu deinen Fragen:
Die erste Ableitung beschreibt ja bekanntlich die Tangentensteigung. Schneiden suich zwei Geraden(Tangenten) so erhält man einen Schnittwinkel.Bei Geraden die senkrecht vaufeinder stehen beträgt der Schnittwinkel 90° . Über die Schnittwinkel-Betrachtung kommt man schließlich zur Relation:
f'(2)*f'(-2)=-1
Ich hoffe du kommst so weiter...
Gruß N. |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 21:53: |
|
Vielleicht hilft folgende Bemerkung weiter :
Wenn man sich die Wendetangenten mal in Parameterform aufschreibt erhält man
w1 : v=(2,f(2))+t(1,f'(2))
w2 : v=(-2,f(-2))+t(1,f'(-2))
Zwei Geraden stehen aufeinander senkrecht,wenn ihre Richtungsvektoren aufeinander senkrecht stehen,also ihr skalarprodukt 0 ergibt.
Nun ist aber das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gerade 1*1+f'(2)f'(-2)
Also ist die Bedingung dafür,daß sie zueinander senkrecht sind 1+f'(2)f'(-2)=0
Gleichung (3) in meinen Ausführungen ergibt sich dann nur noch durch Einsetzen von f'(2) und f'(-2) |
superssj
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 20:18: |
|
ich bin es WIEDER
mensch, wir haben die gleich Aufgabe auf und ich bin 11. Klasse, da ist noch nix mit Skalarprodukt und Schnittwinkelbetrachtung......
mir ist klar, dass man mit der 1. Ableitung den Tangentenanstieg berechnet, aber welche Bedeutung hat denn der Wert -1, den ich aus dem Produkt der 1. Ableitung an den Wendestellen erhalte??? Wieso eigentlich das Produkt bilden? Wie komme ich denn von der Aussage, dass die Wendetangenten sich senkrecht schneiden, auf die Folgerung die 1. Ableitung in Betracht zu ziehen????
Dass man bei dem Produkt auf -1 kommt weiß ich, da ich ja in die 1. Abl. das gleiche Argument einsetze, nur mit dem anderen Vorzeichen....oder?
BITTE helft mir.......nur noch dieses ein MAL |
N.
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 14:19: |
|
Hallo superssj,
Schnittwinkel von Grade ist Stoff der 10. oder Anfang 11. Klasse (Funktionen) meine güte seit ihr weit...
Nur zur Auffrischung:
wegen der Beziehung
tan(a-b)=tan(f)=tan(a)-tan(b)/1+tan(a)*tan(b)
Wegen den Beziehungen auf dem Zettel gilt ebenfals:
tan(f)=m1-m2/1+m1*m2
oder
tan(f)=f'1(x)-f'2(x)/1+f'1(x)*f'2(x)
Da der Tangens für 90° bekanntlich nicht definiert ist gilt:
1+f'1(x)*f'2(x)=0
folglich gilt:
f'1(x)*f'2(x)=-1
Wobei f'1(x) und f'2(x) Die Steigungen der Funktionen f1(x) und f2(x) sind.
daher die Gleichung
f'(2)*f'(-2)=-1
=======================================0
Ich hoffe das hilft...
Gruß N.
ps: Wenn ich die bezeichnungen f'1(x) und f'2(x) verwende bedeutet das x nur das es sich um Funktionen handeln soll, es soll nicht heißen, das x immer gleich sein muß(soll)!!! |
superssj
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 15:54: |
|
also geschlafen hab ich ja in trigonometrie/ goniometrischen Funktionen nicht
aber wir sollten ja alles auf der Basis von Differentialrechnung lösen......von daher
ich hab es nun so gemacht:
Schneiden sich 2 Geraden im 90° Winkel, spricht man von Normalfunktionen, für welche gilt:
m1=-1/m1 (eigentlich -1/m2 --> aufgrund der Betrachtung an ordinatensymmetrischen Wendepunkten kann vereinheitlich werden (glaub ich) aber auch mit m2 kommt man zum gleichen Ergebnis....)
da m=f'(x) lässt sich folgende Beziehung herstellen:
m1*(-1/m1)=f'(2)*f'(-2) --> -1=........
aber trotzdem danke für eure Mühen |
N.P. (carnica)
Neues Mitglied
Benutzername: carnica
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 11:17: |
|
ich hab ein problem!!!!
ich soll die wendetangente von Hoch-,Tief-,Terrasenpunktes bestimmen. wie geht das? Hochpunkt bei (4/4), Tiefpunkt bei (0/-4) und der Terrassenpunkt bei (2/0), außerdem hab ich die wendepunkte bei WEP1(0,6/-2,5) ; WEP2(2/0) ; WEP3(3,4/2,5) und nullstellen bei N1(2/0) dreifache ; N2(2+ 2/3 wurzel aus 15 /0) einfache ; N3(2- 2/3 wurzel aus 15 /0). erste ableitung:
f`(x)=-1/16(15x^4-120x³+300x²-240x)
ich hab das noch nie gemacht, bitte helft mir!!!!!!!! danke schon mal im vorraus N.P. |
Peli
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 18:26: |
|
Hallo N.P.
Bitte für neue Fragen einen neuen Beitrag öffnen! |
|
Funktion
