| Autor |
Beitrag |
    
hifi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 12:37: | 
|
Kann mir jemand bei diesen Aufgaben helfen :
1.a) Von einer Geraden sind die Gleichungen zweier projizierender Ebenen, die durch sie gehen, gegeben. Konstruiere die Gerade.
E:5x+6y-30=0 H:4y+3z-12=0
1.b) Wie lautet eine Parameterdarstellung der Geraden ? Wie lautet die Koordinatengleichung der dritten projizierenden Ebene ?
2. Stelle die Koordinatengleichung der Ebene auf, deren erste Spur die Gleichung 2x+3y-6=0 und deren dritte Spur die Gleichung 2x+x-3=0 hat. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 15:10: |
|
Hi Hifi,
Wir gehen ganz cool an diese Aufgabe heran.
Die Teilaufgabe a) überspringen wir, weil sie zu den
Anfangsgründen der Darstellenden Geometrie gehört,
und Konstruktionen in DG zeigt man am besten an der
guten alten Wandtafel.
Die Teilaufgabe b) fordert uns schon mehr.
Von der Geraden g , welche als Schnittgerade der
gegebenen erstprojizierenden Ebene E und
der zweitprojizierenden Ebene H festgelegt ist,
ermitteln wir zwei Punkte A und B
Je eine der Koordinaten x , y , z dieser Punkte kann
frei gewählt werden.
Punkt A : Die Wahl x = 0 führt mit den vorliegenden
Gleichungen der Reihe nach auf y = 5 und z = - 8 / 3 ;
also: A( 0 / 5 / - 8/3 )
Punkt B : Die Wahl y = 0 führt auf x = 6 , z = 4 ;
Also B( 6 / 0 / 4 )
Der Vektor r = AB ist ein Richtungsvektor von AB
Vor kurzem habe ich Dir gezeigt, wie man einen
solchen Vektor bestimmt
Im vorliegenden Fall finden wir:
R = {6 ; - 5 ; 20/3 } ; nun strecken wir ihn mit dem Faktor 3,
damit kein Bruch mehr auftritt.
Der gestreckte Vektor ist {18; -15 ;20}
Somit lautet eine Parameterdarstellung von g:
x = 6 + 18 * t
y = 0 - 15 * t
z = 4 + 20 * t.
Wir schalten eine Pause ein.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 17:23: |
|
Hi hifi ,
Wir sind immer noch bei Teilaufgabe 1b)
Vorbemerkung
Da eine drittprojizierende Ebene zur (x,z)-Ebene
senkrecht steht, tritt in ihrer Koordinatengleichung
kein Glied mit y auf
Wir erhalten eine lineare Funktion in den Variablen
x und z allein.
Ich zeige Dir zwei Methoden ,die erste ist die übliche,
die zweite die elegante, die man aber nur versteht, wenn
man in der analytischen Geometrie die höheren Weihen
empfangen hat.
1.Methode
Ausgangspunkt sind zwei der drei Gleichungen der
Parameterdarstellung von g
Die dritte Gleichung lösen wir nach t auf : t = (z-4)/ 20.
Dies setzen wir in die erste Gleichung für x ein
und bekommen:
x = 6 + 18 / 20 * ( z - 4) , vereinfacht:
10 x - 9 z - 24 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wir sind am Ziel !
2. Methode
Alle Ebenen durch g bilden ein sogenanntes Ebenenbüschel
mit g als Achse.
Mit Hilfe eines Parameters L (lambda) können wir die
Koordinatengleichung einer allgemeinen Ebene des Büschels
so anschreiben:
E + L * H = 0 , also:
5 x + 6 y - 30 + L * ( 4 y + 3 z - 12 ) = 0.
Geordnet;
5 x + ( 6 + 4 * L ) * y + 3 * L * z - 30 - 12 * L= 0
Soll dies eine drittprojizierende Ebene sein, darf kein Glied mit y
vorkommen.
Daher setzen wir 6 + 4 * L null; daraus entspringt L = - 3/2.
Setzen wir diesen Wert in die letzte Ebenengleichung ein,
so kommt:
5 x - 9/2 * z -12 = 0 als Gleichung der gesuchten Ebene
Dies stimmt mit dem Resultat nach Methode 1 überein.
Fortsetzung folgt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 20:45: |
|
Hi hifi,
Bei den gegebenen Daten ist ein Druckfehler zu berichtigen:
die dritte Spur e3 lautet :
e3 : 2 z + x = 3
Damit schneiden sich die Spuren e1 :x + 3 y = 6 und e3,
auf der x-Achse ,wie es sich gehört, nämlich im Punkt
X(3/0/0)
Wir ermitteln die beiden anderen Achsenschnittpunkte Y und Z
der Ebene E mit den Koordinatenachsen
Y auf der y-Achse, setze in e1 x = 0 ; es kommt y = 2
Also Y(0/2/0)
Setze in e3 x = 0 ; es kommt z = 3/2 , also
Z( 0 / 0/ 3/2 )
Es ist nicht mehr schwierig, die Gleichung der Ebene E
aufzustellen:
Sie lautet :
x / 3 + y / 2 + z / (3/2) = 1
In den Nennern stehen gerade die sogenannten Achsenabschnitte
a , b , c der Ebene mit a = OX = 3, b = OY = 2 und c = OZ = 3/2
Die Gleichung von E lautet somit:
2 x + 3y + 4 z = 6 .
Setzt man in dieser Gleichung x = 0 , so erhält man gerade die
Gleichung der zweiten Spur e2:
3 y + 4 z = 6
°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
hifi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 21:17: |
|
hi
ich habe kurz gelesen was du geschrieben hastund ich finde es spuer, dass es so menschen wie dich auf dieser welt gibt, die sich diese zeit nehmen, um anderen zu helfen. Ich danke dir sehr, dass du mir hilfst und ich weiss ehrlich nicht wie ich mich bei dir bedanken soll. Wenn ich dir irgendwie helfen kann für irgendwas dann frag mich doch einfach (in mathe ist das ja nicht der fall).
Im moment muss ich andere sachen für die schule noch erledigen, aber ich komme auf deine erklärungen später zurück und ich sehe mir dann das genauer an. ( nochmals , dankeeee )
hifi |
|
