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denise (Niese)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 10:51: | 
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Einer Kugel vom Radius R ist eine gerade quadratische Pyramide von größtem Volumen einzuschreiben.
BITTE UM HILFE_BIN VERZWEIFELT!! |
J
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 16:57: |
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Für die Nebenbedingung stellst du dir am besten einen Schnitt durch die Kugel so vor, dass zwei gegenüberliegende Seitenkanten der Pyramide auf der Schnittfläche liegen.
Die Schnittfigur ist nun ein Kreis mit einem einbeschriebenen gleichseitigen Dreieck: Die Schenkel sind gerade die Kanten der Pyramide und die Basis die Diagonale der Grundfläche!
Diese Figur zeichnen wir folgendermaßen in ein Koordinatensystem:
Der Kreis hat seinen Mittelpunkt im Ursprung.
Damit ist der obere Halbkreis der Graph der Funktion f mit f(x)=Ö(R²-x²)
Für die Höhe des Dreiecks gilt: h = R+x
Da der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Diagonalen d gerade d²/2 beträgt, gilt für das Volumen V der Pyramide:
V = (2*f(x))²/2*(R+x)/3
V = 2*(f(x))²* (R+x)/3
V = (2/3) * (R²-x²)*(R+x)
V = (2/3) *(R³+R²x-Rx²-x³)
Ableiten:
V' = (2*R²)/3 - (4Rx)/3 -2x²
Nullstellen davon sind:
-R und R/3
Die zweite Ableitung zeigt, dass an der Stelle R/3 das Maximum für das Volumen angenommen wird. Die optimale Pyramide hat also die Höhe 4*R/3. Als Diagonale errechnet sich: d= 2*f(R/3) = (2/3)*R*Ö8 und damit ergibt sich für die Seitenlänge der Grundfläche: 4*R/3
Rechne vorsichtshalber nach!
Gruß J |
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