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Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 19:42: | 
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Achtung Prüfung!
Dringende Aufgaben!!!!
Habe keine Ahnung wie man die löst, bitte helft mir!
1)Auf welcher höhe muss man eine Pyramide in 2 Teile zerteilen , damit diese Volumengleich oder Oberflächengleich sind?
2)Eine Pyramide soll horizontal in N Teile geteilt werden, die alle Volumengleich sind.
Wo müssen die Schnitte liegen?
3)Wie groß kann eine Kugel/zylinder maximal sein,damit sie in eine beliebige Pyramide passt?(das Verhältnis?)
VIELEN DANK IM VORAUS !!! |
Christian
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 20:01: |
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Ach ja, bei Aufgabe 1) sind sowohl die höhe der gesamten Pyramide gegeben (8cm) und die seitenfläche der quadratischen Grundfläche(6cm). |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 07:40: |
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Hi Christian ,
Lösung der Teilaufgabe a)
Bezeichnungen.
Die gegebene Pyramide habe die Spitze S .
A,B,C,D sind die Ecken der quadratischen Grundfläche.
Im Abstand z VON DER SPITZE werde ein zur
Grundfläche paralleler ebener Schnitt geführt ;
als Schnittfigur erscheint das Quadrat A'B'C'D'
mit der Seitenlänge u.
Für die Berechnungen benötigen wir noch die Basishöhen
der gleichschenkligen Dreiecke SAB und SA'B'
F sei die Höhe durch S im Dreieck SAB, f diejenige
im Dreieck SA'B', welche ebenfalls von S aus gemessen
wird.
F tritt auch je als Basishöhe in den Dreiecken SBC,SCD
und SDA auf , f in derselben Rolle in den Dreiecken
SB'C',SC'D' uns SD'A'.
Beziehungen zwischen der Höhe H = 8 der Pyramide,
der Länge a = 6 der Grundkante und den Höhen F und f.
F = wurzel [H^2+(a / 2) ^ 2 ] nach Pythagoras , also
F= wurzel (73) ......................................................................(1)
f : F = z : H (Strahlensatz), somit:
f = z * F / 8 ...........................................................................(2)
z : H = u : a (Strahlensatz), somit:
u = ¾ *z ................................................................................(3)
1.
Berechnung des Abstandes z der Schnittebene von der Spitze S
aus der Bedingung, dass die Oberflächen der Pyramide SA'B'C'D'
und des Pyramidenstumpfes A'B'C'D'ABCD übereinstimmen.
Gleichsetzung der Oberflächen:
u ^ 2 + 4* ½ u * f = 36 + u ^ 2 + 4 * ½ * ( 6 + u ) * ( F -f )
Der letzte Summand in dieser Gleichung stellt den
Flächeninhalt der vier Seitentrapeze des Stumpfes dar.
Ersetzt man in dieser Gleichung u durch z gemäss (3)
und f durch z und F gemäss (2) und löst nach z^2 auf, so kommt:
z ^ 2 = 32*(3+F) / F , also nach (1):
z ~ 6,5754
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2.
Der Parallelschnitt halbiere das Volumen der Pyramide
Dann gilt die Gleichung
1/3* a^2 * H = 2 * 1/3 u^2 * z , also a^2 * H = 2 * u^2 * z,
daraus
z = ½ * H * a ^2 /u ^ 2 , mit der Gleichungen (3) kommt:
z ^ 3 = 256 oder z ~ 6,35
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In einer Fortsetzung werden wir dasselbe Resultat mit einer
wesentlich einfacheren Rechnung gewinnen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 09:00: |
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Hi Christian,
Lösung der Teilaufgabe b)
Die gegebene Pyramide habe die Grundfläche G
und die Höhe H.
Diese Pyramide soll durch Parallelschnitte zur
Grundfläche in n volumengleiche Teile zerlegt werden.
Wie sind diese n -1 Schnittebenen zu wählen?
Bezeichnet man die Abstände der Ebenen von der
Pyramidenspitze S mit h1,h2,h3,.....,h(n-1)
( Achtung: wesentlich ist die Festlegung, dass die
Abstände von S aus gemessen werden! ) so erhält man die
nur von H und nicht von G abhängigen Werte,
in denen erwartungsgemäss lauter dritte Wurzeln auftreten:
h1 = [1/n] ^ (1/3) * H, h2 = [2/n]^(1/3) * H ,
h3 = [3/n] ^ (1/3) * H,.....,h(n-1) = [(n-1)/n]^(1/3) * H
Zur Begründung eine Kurzfassung :
wir vergleichen das Volumen einer Teilpyramide mit
demjenigen der ganzen Pyramide und benützen den Satz,
dass die Volumina ähnlicher Pyramiden sich verhalten
wie die Kuben homologer Stücke , z.B. Höhen.
Eine ausführliche Begründung folgt.
Setzt man insbesondere n = 2, so erhält man Anwort auf
die entsprechende Frage in Teilaufgabe a)
Für n = 2 kommt:
h1 = z = ½ ^ (1/3) * H = 8 * dritte Wurzel(1/2)
= dritte Wurzel (256),wie früher.
Freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 10:01: |
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Hi Christoph
Nochmals Teilaufgabe b)
Die Höhe der ganzen Pyramide Py sei wiederum H,
die Grundfläche G.
Zerlegung von Py in n volumengleiche Teile.
Die Abstand der obersten Schnittebene von der
Pyramidenspitze S sei h1, der Flächeninhalt des
Schnittes sei g ; g ist dann zugleich die Grundfläche
der obersten kleinen Ergänzungspyramide Py ', deren
Volumen der n-te Teil des Volumens von Py ist .
Wir berechnen h1 aus der Gleichung
g * h1 / 3 = 1 / n * G * H / 3 , daraus
h1 = 1 / n * G / g * H ;
nun ist aber wegen der Aehnlichkeit der beiden Pyramiden
G / g = H ^ 2 / h1 ^ 2 , somit
h1 ^ 3 = 1 / n * H ^ 3 wie behauptet.
Setzt man an
g * h2 / 3 = 2 / n * G * H / 3 , so erhält man
h2 ^ 3 = 2 / n * H ^3 u.s.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R:Mdser,megamath. |
Christian
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 14:00: |
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VIELEN VIELEN DANK FÜR DIE HILFE!!
Leider hatte ich vergessen,Das in Aufgabe 2) auch
eine Teilaufgabe die Oberfläche der Teilabschnitte betrifft, d.h. wie gross sind die Abstände bei N schnitten und Oberflächengleichheit???
In jedenfall werde ich diesen Service weiterempfehlen!
Mit freundlichem Gruß
Christian |
Christian
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 14:04: |
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Falls möglich, brauche ich die Lösungen zu morgen,da am Freitag die mündlichen Prüfungen sind.
Nochmals vielen Dank!
Christian |
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