| Autor |
Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2000 - 17:26: | 
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Hallo im Äther.
zu welcher Rubrik gehört der Mittelertsatz?
Ich weiß, daß er zur Abschätzung von Fehlern
bei Näherungsrechnungen verwendet werden kann.
Hier die Aufgabe.
Es soll für die Abbildung
f(x)= 1/ (1+x2)
mit der Ungleichung
| f(b)-f(a) | kleiner, gleich K | b-a| .
abgeschätzt werden , wie groß der Fehler ist,
wenn man anstelle von f(pi) den Wert f(3,14)
verwendet.
und welche Beziehung die Ungleichung s.o
zum Mittelwertsatz hat?
f:[a,b] -> R . |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2000 - 20:16: |
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|f(b)-f(a)|kleiner=K*|b-a|
angewandt auf die Funktion f(x)=1/(1+x²)
für a=3,14
b=pi
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f'(x)=-2x/(1+x²)²
Nach dem Mittelwertsatz ist K der Wert f'(c) wobei c ein Wert zwischen 3,14 und pi ist. Da wir c nicht kennen, nehmen wir zur Fehlerabschätzung den größtmöglichen (Absolut) Wert von f'(c) an.
Dieser liegt bei c=3,14
|f'(3,14)|=6.28/(1+3,14²)²=mit dem Taschenrechner
|f'(3,14)|=0,053251517
Fehler=|f(b)-f(a)|kleiner=|f'(3,14)*(b-a)|
=f(pi)-f(3,14)kl=0,053251517*(pi-3,14)
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Dies ist der größmögliche Fehler.
Mit Taschenrechner:
geschätzter Fehler=0,053251517*(3,141592654-3,14)=
=0,00008481
=============
Überprüfung:
f(pi)=0,09199967...
f(3,14)=0,09208442...
Wirklicher Fehler=0,00008475...
Der wirkliche Fehler ist also kleiner als der errechnete größtmögliche Fehler.
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