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Astrid Apel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2000 - 15:33: | 
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Zur Funktion
y = f(x)= e hoch 3x-7, x € R
soll die Unkehrfunktion f(y) hoch -1 angegeben werden.
Das muß doch irgentwie mit dem ln von e gehen, oder? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Januar, 2000 - 22:17: |
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Du löst die Gleichung x=e3y-1 nach y auf.
erst logarithmieren : 3y-1=lnx
dann +1 und durch 3 ergibt y=(1+lnx)/3. |
Holger
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2000 - 19:01: |
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Brauche Umkehrfunktion zu y=x^3+6x^2+13x+10 (kein Binom!!) |
Bodo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Februar, 2000 - 10:01: |
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Die Umkehrfunktion kann mehr als eine Lösung haben:
x=y³+6y²+13y+10
Gefällt Dir diese Darstellung nicht? Dann mußt Du diese Gleichung 3. Grades nach y auflösen. Das ist eine undankbare Aufgabe, aber möglich mit den Formeln von Cardano.
Habe gestern schon versucht das reinzustellen, aber mein Server war platt.
Bodo |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 18:31: |
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Hi Holger,
Ueber inverse Funktionen gibt es einige grundlegende Sätze ; im Vordergrund steht der folgende: : Wenn die Funktion y = f(x) im x-Intervall [a,b] stetig und strikte monoton ist
mit dem Wertebereich aus dem y-Intervall [c,d] , so ist auch die umgekehrte Zuordnung x = g(y) , die inverse Funktion , stetig und im gleichen Sinn strikt monoton.
(statt "strikt" sagt man auch "streng" oder "echt" monoton !)
Eine wesentliche Voraussetzung für die Existenz der Inversen einer Funktion ist somit ihre Monotonie Wir prüfen daher zuerst das Monotonieverhalten Deiner Funktion f(x) .
Die Ableitung f ' (x) = 3 x^2 + 12 x + 13 ist eine quadratische Funktion mit einer negativen Diskriminante D = 144 - 156 x = z - 2 entsteht:
y= z ( z^2 + 1) = z ^3 + z (Hurra : die Gleichung hat kein quadratisches Glied in z !)
Nun bleibt uns nichts anderes übrig , als die Gleichung dritten Grades z^3 + z - y = 0 nach
z aufzulösen. Dies soll mit der Formel von Cardano ausgeführt werden
(siehe in einer geeigneten Formelsammlung nach !) Es gibt genau eine reelle Lösung; sie lautet:
z = u + v mit u = ( ½ y + w) ^ (1/3) , v = ( ½ y - w ) ^ (1/3) , wobei
w = ( ¼ y^2 + 1 / 27 ) ^ (1 / 2 ) = 1/18 ( 81 y^2 + 12 )^ (1/2) gilt.
Ersetzt man in z = u +v die Variable z durch x + 2 und vertauscht man alsdann noch ,
wie bei der Ermittlung von Inversen üblich , x mit y und y mit x (Spiegelung an der Geraden y = x) , selbstverständlich auch im Term w, so erhält man die gesuchte Inverse g(x) in der Schlussform:
y = 1/6 ((108x + 12* (81x^2 + 12 )^1/2 )^(1/3) + (10 8x - 12* (81x^2 + 12)^1/2)^(1/3)) - 2
Wir kontrollieren das Resultat mit drei Punktepaaren : P(-2/0), Q(0/10), R(-1/2).liegen alle auf der Kurve y = f(x), die an y = x gespiegelten Punkte P*(0/-2), Q*(10/0), R*(2/-1) liegen auf der Kurve y = g(x).
Hoffentlich kannst du meine Ausführungen verstehen !
Mit besten Grüssen
H.R. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 19:39: |
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An Reinhard,
Aus Versehen meinerseits ist meine Antwort an Holger in dreifacher Ausfertigung bei Euch erschienen;könntest du zwei davon löschen.
Bitte um Entschuldigung.
Mit bestem Dank und Gruss
H.R |
Holger
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 21:16: |
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Hallo. Ich dachte schon Du meinst wenn ichs dreimal lese verstehe ichs besser, Das stimmt leider nicht. Ich kenne die Formeln von Cardano nicht habe sie auch nicht in meinen Formelsammlungen gefunden. Sind sie kurz: schreib sie mir bitte. Sind sie lang: wo kann ich sie finden?
Warum x+2=z bzw z=u+v????? Das blick ich nicht. Für Aufklärung dankt
Holger |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 22:16: |
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Hi Holger,
Ich bin nicht der Meinung, dass die Auflösungsfomel von Cardano für kubische Gleichungen für den Mathematikunterricht an Mittelschulen wesentlich sei. Meistens behilft man sich mit Erraten von Lösungen und Abspalten von Wurzelfaktoren (Zurückführung auf quadratische Gleichungen) oder man begnügt sich - in den Wirtschaftswissenschaften vor allem- mit Näherungsmethoden ,z.B. mit dem Newtonschen Verfahren. Weiterhin ist zu vermerken ,dass die modernen Computeralgebrasysteme (Maple und andere) imstande sind, ohne langes Federlesen alle Lösungen fast aller Gleichungen dritten Grades auch formal und daher exakt zu berechnen.
In Deinem Fall kannst du es einmal mit einem solchen System versuchen. Bei mir hat es mit Maple V gut geklappt
Gleichwohl hatte ich Cardano eingesetzt , um ein exaktes Resultat von Hand zu erzielen.
Im folgenden sage ich Dir das nötigste zu Cardano und zwar nur soviel ,wie für Dein Beispiel notwendig ist:
Geg.: kubische Gleichung in x :
x^3 + ax^2 + bx + c = 0
Die Gleichung wird zunächst durch die Transformation x = z - a/3 auf die reduzierte Form
z^3 + 3pz + 2q = 0 gebracht .Probiere einmal, ob es funktioniert, dass dann auf jeden Fall das quadratische Glied herausfällt; dies ist Grund genug zu frohlocken . Dies gelang in unserem Fall fast von selbst!
Die Koeffizienten p und q ergeben sich aus der ursprünglichen Gleichung gemäss der Formeln 3p = - a^2 / 3 + b , 2q = 2a^3 / 27 - ab / 3 +c Für unser Beispiel gilt p = 1/3 und q = -1/2 y wie Du leicht feststellen kannst.
Ein erster Teil der Cardanischen Formeln lautet nun Ist s = q^2 + p^3 > = 0,
so hat die Gleichung eine reelle Lösung und zwei konjugiert komplexe Lösungen (Für unser Beispiel ist dies der Fall, es ist s = ( 27y^2 + 1) / 108. Die Quadratwurzel aus der nicht negativen Zahl s setzen wir zur Abkürzung t, also T = sqrt ( t )
Die reelle Lösung ,die wir allein benötigen, lautet dann nach Cardano
z = ( - q +t ) ^ (1/3) + (-q -t) ^ (1/3).
Hoffentlich siehst Du nun ein wenig besser durch
Mit den besten Wünschen
H.R. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2000 - 22:26: |
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eine ganz kleine Verbesserung möge meine Arbeit abrunden und abschliessen:
gegen den Schluss muss es richtig heissen
t = sqrt ( s ) , nicht T =.. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 21:20: |
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Ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter:
f(x)=-x^3+3x^2+13x-15 |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 21:50: |
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Was ist denn gefragt? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 22:50: |
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Stimmt, hab ich vergessen. Also Aufgabe ist:
Berechnung der Nullstellen
Gleichung als Produkt aus Linearfaktoren darstellen
Wäre echt super, wenn das bis morgen früh noch irgendwer lesen würde... |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. März, 2000 - 23:38: |
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f(X)= -x^3+3x^2+13x-15 ; Nullstellen:
N1 (-3/0) ; N2 (1/0) ; N3 (5/0) |
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