| Autor |
Beitrag |
    
Kurt (Fangorn)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juni, 2001 - 13:00: | 
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Hallo, Mathematiker!
Ich hätt ein Problem - habt ihr die Lösung?
Ich habe 2 Kugeln gegeben, davon Ortsvektor, Bewegungsvektor und Radius:
pos1[4/11/0] vel1[4/-2/0] r1=1
pos2[10/12/0] vel2[-2/-4/0] r2=2
Nun möchte ich gerne wissen, wo sich die beiden Kugeln treffen (kollidieren).
Hab das zeichnerisch gelöst (daher z-Achse=0) und rausbekommen, daß sie sich nach t= 0.5 treffen müssen.
Kann mir jemand sagen, wie man das rechnet?
Schönen Dank |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juni, 2001 - 22:07: |
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Hi Kurt,
Motto : tant de bruit pour une omelette !
Du präsentierst hier eine sehr interessante Aufgabe,
die allerdings rechnerisch nicht ganz einfach zu lösen ist
Die folgenden Rechnungen spielen sich ganz im R2,
der (x,y)-Ebene ab.
Die Koordinaten der Mittelpunktes M1 und M2 der beiden
Kugeln k1 und k2 sind zeitabhängig .Die entsprechenden
Funktionen in der Zeit t lauten:
Für M1: x = 4 + 4 t , y = 11 - 2 t
Für M2: x = 10 - 2 t , y = 12 - 4 t .
Für t = 0 erhalten wir die Ausgangslage.
Wir stellen nun die Koordinatengleichungen der beiden
Kreise auf:
k1.
(x - 4 - 4 t ) ^ 2 + ( y - 11+ 2 t ) ^ 2 - 1 = 0 oder:
x ^ 2 + y^2 - 8x - 8 t x - 22 y + 4 t y +136 +20 t^2 - 12 t = 0 ............(I)
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k2:
(x - 10 + 2 t ) ^2 + ( y - 12 + 4 t ) ^2 - 4 = 0 oder
x^2 + y^2 - 20 x + 4 t x - 24 y + 8 t y + 240 + 20 t ^2 - 136 t = 0......(II)..
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Wir beabsichtigen ,die zeitlich erstmalige Berührung der beiden
Kreise zu bestimmen.
Plan
Wir bestimmen die Gleichung der POTENZGERADEN p der beiden
Kreise und postulieren, dass p eine Tangente z.B.. des ersten Kreises ist.
Dies ist genau dann der Fall , wenn der laufende Mittelpunkt M1
des ersten Kreise von p den Abstand r 1 = 1 hat .
Ausführung
Wir erhalten die Gleichung der Potenzgeraden p der beiden Kreise
durch Subtraktion ihrer beiden Gleichungen (I) und (II)
Gleichung von p in vereinfachter Form.
6 x - 6 t x + y - 2 t y - 52 + 62 t = 0.................................................(III)
p in der Normalform von Hesse
Dividiere (III) durch H =wurzel [( 6 - 6 t ) ^ 2 + ( 1 - 2 t ) ^ 2 ]
Somit p in Normalform:
(6 x - 6 t x + y - 2 t y - 52 + 62 t ) / H = 0 ......................................(IV)
Setzen wir im Zähler an Stelle von x und y die Koordinaten
x = 4 + 4 t und y = 11 - 2 t von M1 ein, so stellt die linke Seite
der Normalform (IV) den Abstand (plus /minus) 1 dar.
Wir tun dies, schaffen den Bruch weg, quadrieren und
erhalten schliesslich nach gehöriger Vereinfachung die
folgende ausgewachsene Gleichung vierten Grades in t:
100 * t ^ 4 - 380 * t ^ 3 + 521* t ^2 - 304 t + 63 = 0
Die Lösungen sind alle positiv und rational , nämlich:
t1 = ½ , t2 = 9 /10 , t3 = 1 , t4 = 7 / 5
(kontrolliere das Resultat mit dem Satz von Vieta!)
Uns interessiert das Resultat mit dem kleinsten t - Wert:
t = ½ für den ersten Kontakt der Kugeln.
Das ist dasselbe Resultat , das Du angekündigt hast .
Die Polare ist senkrecht zur x-Achse und hat die einfache
Gleichung x = 7 , tant de bruit !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,meganath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juni, 2001 - 22:37: |
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Hi Kurt ,
Am Schluss meiner Arbeit muss es richtig heissen:
Die Potenzgerade ( nicht die Polare) der sich
berührenden Grosskreise der Kugeln
hat die einfache Gleichung x = 7 .
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
habac
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 07:01: |
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Hi
ein anderer Lösungsansatz geht davon aus, dass sich die beiden Kugeln dann berühren, wenn der Abstand der Mittelpunkte gleich der Summe der Radien ist.
Dies führt auf die quadratische Gleichung
(6t-6)2+(2t-1)2=9
Die kleinere Lösung ist t=0.5 |
Kurt (Fangorn)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 09:03: |
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Hallo, habac!
Danke, das klingt nett.
Obwohl ich von H.R.Moser tief beeindruckt bin, suche ich eine Lösung, die ich in einem Programm benutzen kann. Und zwar dreidimensional.
Könntest Du mir bitte aufschreiben, wie die Formel für dreidimensionale Vektoren aussieht?
Und ob ich beim Multiplizieren der Vektoren (quadratische Gleichung) das Skalarprodukt nehmen kann?
Vielen Dank. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 11:55: |
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Hi Kurt
Die Methode von habac ist ausgezeichnet
und dem Problem bestens angepasst,
Sie lässt sich auch problemlos im R3 anwenden.
Dazu ein Beispiel:
Erste Kugel:
Mittelpunkt zur Zeit t = 0 : M1,0 (2/3/4) , Radius r1 = 1
vel 1 = { -1 ;-1 ;-1 }
Zweite Kugel
Mittelpunkt zur Zeit t = 0 ; M2,0 (6/7/2) , Radius r2 = 2
vel2 = {- 3 ;- 3 ; 2 }
Quadrat des Abstandes d der Mittelpunkte zur Zeit t:
als Quadrat des Verbindungsvektors v der Mittelpunkte
der beiden Kreise.
d ^ 2 = ( 4 -2 t )^ 2 + ( 4 - 2 t ) ^ 2 + ( - 2 + 3 t ) ^ 2
Setzen wir d ^ 2 = ( r1+r2 ) ^ 2 = 9 , so erhalten wir die
quadratische Gleichung in t:
17 * t ^ 2 - 44 * t + 27 = 0 mit den Lösungen
t1 = 1 und t2 = 27 / 17.
Die gesuchte Zeit ist t = 1 .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 21:06: |
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Versuch einer physikalischen Lösung:
r(t) := r2(t) - r1(t) Relativabstand der Mittelpunkte (vektoriell)
v := v2 - v1 deren Relativgeschwindigkeit
-> r(t) = r(0) + v t
a = R1 + R2 Abstand der Mittelpunkte bei Berührung
r² =! a² Berührung
-> a² = r²(0) + v² t² + 2 r(0) v t quadratische Gleichung für t
a := R1 + R2 = 1,5 m
r(0) := r2(0) - r1(0) = (6 / 1) m; r(0)² = 37 m²
v := v2 - v1 = (-6 / -2) m/s (!); v² = 40 m²/s²
r(0) v = - 38 m²/s;
a² = r²(0) + v² t² + 2 r v t -> t² + 2 r(0)v / v² t + [r(0)² - a²] / v² = 0;
t² - 1,9 s t + 0,87 s² = 0 -> t1;2 = - 0,77s; - 1,13 s
Es gab also in der Vergangenheit zwei Kugelberührungen (Ein- / Austritt). Bitte nachrechnen! |
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