| Autor |
Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2000 - 09:46: | 
|
Habe eine Funktion mit sinus und cosinus.
Suche die dritte Ableitung.
von y= sin2(x)(1-cos(2x)) .
Kriegt das noch jemand bis heute nachmittag
zustande? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2000 - 09:47: |
|
Vielleicht mit Zwischenschritten.
Danke. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2000 - 12:18: |
|
Mein Computer meint dazu:
f(x)=sin²(x)*cos(2x)
f'(x)=8sin(x)cos(x)-8sin(x)cos³(x)
f"(x)=40cos²(x)-32cos4(x)-8
f"'(x)=-80sin(x)cos(x)+128sin(x)cos³(x)
======================================= |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2000 - 14:59: |
|
Da komme ich auf andere Ergebnisse(und mein Funktionsplotter bestätigt das...) :
f(x)=sin2(x)(1-cos(2x))
f '(x)= 4sin(2x)*sin2(x)
f ''(x)= 8(sin2(2x)-sin2(x))
f '''(x)= 16sin(4x)-8sin(2x)
Natürlich sind andere Lösungsdarstellungen möglich,je nachdem welchen Zusammenhang zwischen den Trigonometrischen Funktionen verwendet.
Fern ist übrigens von einer anderen Funktion ausgegangen.Dennoch scheinen mir seine Ergebnisse auch für f(x)=sin2(x)cos(2x) falsch zu sein. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2000 - 16:27: |
|
Hallo Fern du hast die 1 im zweiten Therm ver-
gessen.
Vielleicht gibst du den richtigen Wert ein.
Also: sin2(x)(1-cos(2x).
Entspricht das dann den Werten von Ingo? |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2000 - 19:03: |
|
Mein Computer ist ein ganz schlauer Bursche. Der macht keine Rechenfehler!
Allerdings habe ich beim Abtippen der Angaben die 1 vergessen, die angegebenen Ableitungen sind aber für die richtige Funktion:
sin²(x)(1-cos(2x)) errechnet.
Sie stimmen übrigens mit denen von Ingo völlig überein, wie man am Besten durch einen Vergleich der Graphen feststellen kann.
Ich hänge hier noch die Graphen der Funktion f(x) und ihrer Ableitungen an.
Um nicht ein Wirrwarr an Kurven in einem Bild zu haben, zeigt:
Bild 1: f(x) und f'(x)
Bild 2: f'(x) und f"(x)
Bild 3: f"(x) und f"'(x)
================================
PS: Die Bilder haben verschiedene Maßstäbe für die y-Achse.
=========================================
 |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2000 - 09:10: |
|
Hallo, Fern .
Danke für die Graphikendazu.
Meine Lehrerin sagt , daß die Zwischenschritte
zur ersten , zur zweiten und dann zur dritten
Ableitung haben will.
Kannst du mir das erläutern. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2000 - 16:12: |
|
Bei meiner ersten Antwort habe ich meinem Computer
die Ermittlung der Ableitungen überlassen. Man kann dies natürlich auch "manuell" erreichen, nur mit etwas mehr Mühe:
f(x)=sin²(x)*(1-cos(2x))
Nach der Produktregel:
u=sin²(x)
u'=2sin(x)*cos(x)
v=1-cos(2x)
v'=2sin(2x)
jetzt: (uv)'=u'v+uv'
f'(x)=2sin(x)cos(x)(1-cos(2x))+2sin²(x)sin(2x)
nun kann man noch "verschönern":
Formeln: 1-cos(2x)=2sin²(x)
und sin(2x)=2sin(x)cos(x)
f'(x)=2sin(x)cos(x)*2sin²(x)+2sin²(x)2sin(x)cos(x)
=8sin³(x)cos(x)
================
Diese erste Ableitung ist das gleiche Ergebnis wie das vom Computer (und auch von Ingo) errechnete. Nur eben wieder in einer anderen Form.
==============================
Zweite Ableitung nach dem gleichen Schema:
u=8sin³(x)
u'=24sin²(x)cos(x)
v=cos(x)
v'=-sin(x)
f"(x)=24sin²(x)cos(x)cos(x)-8sin³(x)sin(x)
=24sin²(x)cos²(x)-8sin4(x)
==============================
Dritte Ableitung:
f" ist eine Summe, deren 1. Term ein Produkt ist.
Die 3. Ableitung dürfte auch nicht schwerer zu finden sein; man muss nur höllisch achtgeben, dass man sich nicht verrechnet. Diese Aufgabe überlasse ich jetzt aber dir.
[Auch noch meine Ergebnisse nachrechnen, denn, im Gegensatz zu meinem Computer, mache ich viele Rechenfehler].
Viel Spass!
Fern |
|
