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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Januar, 2000 - 09:56: | 
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Hallo, kann mir jemand erklären, was die vollständige Induktion ist und wie sie geht.
Sie scheint nach einem gewissen Muster zu laufen.
Wer kann mir das erklären?
Also: es soll gezeigt werden,
daß für 0<a<b, a,b sind Elemente von R und:
n ist Element von N, dafür gilt
a^ n - b^ n = (a-b) mal Summe(von i=0 bis
n-1)
a ^ i mal b ^ (n-1-i).
Für die vollständig Induktion ist zu benutzen:
(z.B.)
a^(n+1)- b^(n+1)= a(a^ n - b^ n)+ b^ n (a-b) .
Kennt sich jamand damit aus.
Ich nicht. |
dseifert
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Januar, 2000 - 14:24: |
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Mit der vollständigen Induktion kannst Du bestimmte Sachverhalte folgendermaßen beweisen:
Du beweist die Aussage für einen Anfangswert (z.b. n=1) [Induktionsanfang] und beweist im
Induktionsschritt, daß ausgehend von der Annahme, daß die Aussage für ein n∈N gilt
(Induktionsvoraussetzung) sie auch für n+1 gilt (Induktionsbeweis).
Anschaulich kannst Du Dir das vielleicht so vorstellen, daß Du eine Reihe von Dominosteinen
aufstellst und den ersten umkippst und die ganze Reihe fällt.
Zu Deinem Beispiel:
Die Induktion geht über n, daß 0 < a < b gilt ist die Voraussetzung. Das nehme ich jetzt
jedenfalls mal so an, kennzeichne das in Zukunft immer ordentlich (auch im Hefter, Klausur,
etc), damit es keine Mißverständnisse gibt.
Wir führen den Induktionsanfang aus und zeigen, daß die Aussage für n=1 gilt (alternativ könnten
wir auch mit n=0 anfangen, hängt davon ob, ob man der Meinung ist daß 0eN ist oder nicht.
[Bei näherer Überlegung kann es mit 0 gar nicht losgehen, da 0-1 = -1 ist und die Summe dann
rückwärts laufen müßte ;))])
Für n=1 ist die rechte Seite der Gleichung jedenfalls nach kurzem Nachrechnen a-b, das stimmt
mit der linken Seite überein.
Wir nehmen jetzt an, daß die Gleichung für n stimmt (Induktionsvoraussetzung) und beweisen,
daß sie ausgehend davon auch für n+1 stimmt.
Es ist nun, wie Du selbst geschrieben hast
an+1 - bn+1 = a(an - bn) + (bn) * (a-b)
wie Du leicht selbst nachrechnen kannst. Wir wollen nun zeigen, daß gilt:
an+1 - bn+1 = (a-b)(Summe(i=0 bis n) ai*bn-i)
Dazu benutzen wir obige Voraussetzung, ersetzen aber daß an-bn durch
unsere Induktionsvoraussetzung und erhalten:
an+1 - bn+1 = ( a(a-b) * Summe(i=0 bis n-1) aibn-1-i) + (a-b)*bn
Das sieht jetzt schlimmer aus als es ist, wir klammern erstmal die (a-b) aus. Ab hier
schreibe ich die linke Seite der Gleichung nicht mehr, okay?
= (a-b) * (a* Summe(von i=0 bis n-1) aibn-1-i + bn)
Das letzte bn gehört nicht mehr mit in die Summe rein. Jetzt haben wir ein
a*summe... und packen das a einfach dort mit rein. Dadurch wird das ai zu
ai+1, der Rest ist unverändert.
Jetzt wenden wir einen (kleinen) Trick an und ändern die Summe so, daß sie von 1 bis n läuft.
Das heißt aber auch, daß wir die i um 1 erniedrigen müssen, damit dasselbe
Ergebnis rauskommt, stimmts? Damit wird ai+1 zu ai und es wird
bn-1-i zu bn-1-(i-1) und damit zu bn-i und unsere Gleichung
sieht jetzt folgendermaßen aus:
= (a-b) * ( Summe(von i=1 bis n) aibn-i + bn)
Du siehst, das sieht schon so ungefähr aus wie das, was wir eigentlich erhalten wollen. Was
noch unterschiedlich ist, ist das die Summe erst bei 1 anfängt und das hinten ein bn
steht. Nun, lassen wir testweise die Summe bei 0 loslaufen. Damit erhalten wir gerade einen
Term mehr, nämlich bn (= a0bn-0) und damit haben wir unser
bn auch untergebracht und erhalten:
an+1 - bn+1 = (a-b)(Summe(i=0 bis n) ai*bn-i)
Damit sind wir fertig.
Zusammenfassung: Wir haben gezeigt, daß die Gleichung für n=1 gilt. Dann sind wir davon
ausgegangen, daß sie für n gilt und haben gezeigt, daß sie für n+1 gilt. Wenn Du also
n=200 einsetzt, dann ist die Gleichung gültig, dann wir wissen definitiv, daß n=1 stimmt,
damit stimmt n=2, damit stimmt n=3, ..., damit stimmt n=200 etc.
Hoffe, es war verständlich genug. Noch viel Spaß. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 12:04: |
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Hallo, dseifert
Ich gehe davon aus, daß zu beweisen ist:
a^n-b^n = Summe(Sigma) E (von i=0 bis n-1)
a^i b ^n-1-i
Besser bekomme ich das nicht in den Computer.
(Kann man das im Computer einstellen z.B. zum
Quadrat oder das Summenzeichen? )
Ich verstehe nicht was n&isin bedeutet
oder 0<.
Kannst du das nochmal verdeutlichen? |
dseifert
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 16:12: |
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Mit 1sup2xyz1/sup2 kannst Du erzwingen, daß
xyz hochgestellt wird, mit 1sub2abc1/sub2,
daß abc tiefgestellt werden. Dabei ist 1
eine spitze öffnende Klammer, 2 eine spitze
schließende Klammer (kann ich hier nicht
schreiben, weil sonst xyz dastehen
würde ;)))
∈ und < sind Befehle, die dem Browser
dazu bringen sollen, bestimmte Zeichen
darzustellen. So ist ∈ das Element-Zeichen
(laut HTML 4.0 Standard definiert, wird
aber i.d.R. nicht dargestellt wegen mangelnder
Schriftart oder was weiß ich). < ist eine
spitze öffnende Klammer, das wurde aber nicht
ausgewertet, da das hier alles über JavaScript
oder so läuft, keine Ahnung, ist ja auch egal.
Das Summenzeichen könnte man theoretisch mit
∑ darstellen, das klappt aber nie im Leben
mit Netscape oder IE oder mit dieser Seite
an sich. Du kannst also nur "hoch-" und
"tiefgestellt" erzwingen, den Rest nicht.
n∈N sollte heißen, daß n aus den
natürlichen Zahlen stammt. 0 < a < b
sollte 0<a<b heißen.
Egal. Das sollte also kein Problem sein.
Mit Deiner Voraussetzung, was zu beweisen
ist, liegst Du richtig, so habe ich es mir
ja auch gedacht.
Du solltest Dir aber angewöhnen, daß alles
eindeutiger zu kennzeichnen, so kann es zum
Beispiel nie schaden, einen Beweis folgendermaßen
anzufangen:
Voraussetzungen: blablabla
Behauptung: Der Himmel ist blau
[Beweis ...]
Das gehört aber schon vom Thema nicht mehr
auf diese Website. Wenn Du noch Fragen hast,
dann kannst Du mich auch unter dseifert@gmx.de
erreichen.
Zum Schluß noch mal eine Bemerkung zur
Induktion an sich: Mit einem "normalen"
Beweis beweist Du eine Aussage auf einen
Schlag für alles. Bei einer Induktion
geht das nicht (oder nur wesentlich
komplizierter) und deshalb zeigst Du
es für jedes einzelne "n" einzeln (in
der Form, daß Du es für den Nachfolger
zeigst).
Daniel |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2000 - 21:43: |
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Für dieses Bord gibt es eine recht einfach zu verstehende Formatierungssprache.
So ist z.B. das Höherstellen durch \+{Text} zu erreichen(Ergebnis : Text) und das Tieferstellen mit \-{Text} (Ergebnis : Text) |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 13:44: |
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Danke für den Tip mit der Vorgehensweise, dseifert.
Wenn ich das also richtig verstanden habe,
sind die Voraussetzungen:
1) 0<a<b a,b sind Elemente der reelen Zahlen (R).
2) n ist Element der natürlichen Zahlen (N).
Die Behauptung ist:
an-bn=sum{i=0} bis n-1 , aibn-1-i |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 13:45: |
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vor dem Summenzeichen fehlt noch (a-b) |
Daniel
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 15:57: |
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Ja. |
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