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Micha
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 14:18: | 
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Hallo,
mich interessiert der Beitrag vom 20.11 02:02.
Ich verstehe irgendwie nicht so ganz,wie man das beweist. könnte mir das einer von euch nochmal ausführlicher aufschreiben? (n²<2^n)
Das wäre ganz nett.
Danke im Voraus
Micha |
chnueschu
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 18:36: |
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also: dass man es mit vollständiger induktion beweist, hast du ja gesehen (das ist hier praktisch, weil man eine aussagen über alle natürlichen zahlen ab 4 macht):
zuerst verankern wir die aussage und setzen dazu einen festen wert (hier n=5) ein:
n=5 : 2^5=32>25=5^2
... die aussage 2^n>n^2 stimmt also für n=5.
nun nehmen wir an, dass die aussage für stimmt und machen den induktionsschritt von n nach n+1.
n->n+1
also beginnen wir links und setzen eben anstatt n n+1 ein. dann müssen wir durch geschickte umformung zeigen, dass rechts steht (n+1)^2:
ich schreibe in eckiger klammern die überlegungen der einzelnen schritte.
2^(n+1)
[potenzgesetz ergibt]
=2*2^n
[wir haben angenommen, dass die ungleichung für n stimmt, also]
> 2*n^2
[wir schreiben anstatt des produkts eine summe]
= n^2+n^2
[für n>5 gilt ja sicher n^2 > 2*2+1 = 5, also können wir noch einmal eine ungleichung anhängen:]
> n^2 + 2*2 + 1
[nun wenden wir eine binomische formel an und erhalten das gewünschte resultat]
=(n+1)^2
bem: wir haben zweimal in unseren umformungen ein "grösser als" drin, deshalb ist das erste sicher grösser als das letzte. wir dürfen einfach keine "<" drin haben, sonst gibt es probleme...
gruss chnüschu. |
Micha
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 20:16: |
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Ein dickes DANKESCHÖÖÖN für die Mühe!!!
Na endlich habe ich es verstanden.
Manchmal dauert es eben etwas länger.... |
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