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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Januar, 2000 - 07:57: | 
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Ich muß übermorgen
die Funktion
f(x)= x mal e^ -x^2 diskutieren.
Dazu soll ich sagen in welchen Bereichen
die Funktion
monoton wachsend
bzw. fallend ist.
Wo liegen die Extrema bzw. die Wendepunkte.
In welchen Bereichen ist die Funktion
konvex bzw. konkav.
Den limes soll ich für x-> unendlich und
x-> minus unendlich
der Funktion bilden.
Und als letztes den Graphen nur skizzieren.
Kriegt das jemand so schnell hin?
Danke. |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Januar, 2000 - 20:38: |
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Hallo,
f(x)=x*e-x²
Definitionsbereich: R
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Ableitungen:
f'(x=e-x²*(1-2x²)
f"(x)=2x(2x²-3)*e-x²
==========
Grenzwerte bei ±oo
x*e-x²
e-x² geht für +oo und für -oo gegen 0
Der Faktor x geht zwar gegen ±oo aber:
Multipliziert (oder dividiert) man eine e-Potenz mit einer Potenz von x, so "gewinnt" immer die
e-Potenz!
Unser Grenzwert daher:
0 für x==> +oo
0 für x==> -oo
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Nullstellen:
e-x² immer größer als 0
x nur Null für x=0
also einzige Nullstelle von f(x) liegt bei x=0
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Vorzeichen von f'(x):
f'(x)=e-x²*(1-2x²)
Erster Faktor immer positiv.
1-2x²=0
x=±1/4
f'(x) >0 für x aus ]-1/4;1/4[....f(x) steigend
f'(x)=0 für x=-1/4 und x=1/4 f(x) hat horizontale
Tangente (=Extremum)
f'(x) <0 für x aus ]-oo;-1/4[ U ]1/4;+oo[
f(x) also fallend
] [....bedeutet offenes Intervall.
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Vorzeichen von f"(x):
1.Fall x größer 0
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Vorzeichen von f" wie Vorz. von (2x²-3)
2x²-3=0
x=±Wurzel(3/2)
für x von 0 bis Wurzel(3/2)...f" ist negativ
f(x) also rechtsgekrümmt.
für x größer als W(3/2)...f" pos. und f(x) linksgekrümmt.
2.Fall
Für x kleiner 0:
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Vorzeichen von f" wie negatives Vorz. von (2x²-3)
Für x von -W(3/2) bis 0 f"..pos..f..linksgekrümmt
für x kleiner -W(3/2) f"..neg....f..rechtsgekrümmt.
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Zurück zu den Extrema:
für x=-1/4 ist f" positiv: also Extremum ist Minimum
für x=1/4 ist f" negativ: also Extr. ist Maximum
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Wendepunkte
dort wo f"=0
f"=2x*(2x²-3)*e-x²
Dies sind 3 Faktoren, der letzte immer pos.
2x=0 bei x=0
2x²-3=0 bei x=-W(3/2) und bei x=+W(3/2)
WP also bei x=-W(3/2), x=0, x=+W(3/2)
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Ich versuche noch die Schaubilder anzuhängen
1. Bild: f(x)
2. Bild: f'(x)
3. Bild: f"(x)
4. Bild: alle Kurven zusammen.
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Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Januar, 2000 - 22:53: |
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Symmetrie:
Man kann auch noch zeigen, dass die Kurve punktsymmetrisch in bezug auf den Punkt (0,0) ist.
Dazu muss sein: f(x)=-f(-x)
f(x)=x*e-x²
f(-x)=-x*e-(-x)²=-[x*e-x²]=-f(x) q.e.d.
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Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 15:24: |
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Hallo Fern,
danke für die Kurvendiskussion.
die Grenzwerte kann ich nicht ganz nachvollziehen.
Kannst du das näher erläutern.
Wie z.B. der Faktor gegen +/- unendlich geht. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2000 - 20:02: |
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Grenzwert von f(x)=x*e-x² für x gegen oo.
Die Funktion besteht aus 2 Faktoren:
x und e-x²
für x==> oo:
x=oo
e-x²=0
f(x)=oo*0......dies ist eine unbestimmte Form.
In unserem Fall kann man jedoch gleich erkennen,
dass der Grenzwert gleich 0 ist, weil, wie man sagt: die e-Funktion stärker nach Null geht als x gegen Unendlich.
Vielleicht ist dies deutlicher, wenn man den Ausdruck:
f(x)=x/ex² betrachtet: Die e-Funktion geht stärker nach Unendlich als x.
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für x gegen -oo gilt das Gleiche.
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Formal kann man diesen Grenzwert beweisen:
x/ex² für x gegen oo
Wir setzen u=x² also x=W(u)
Grenzwert= W(u)/eu für u gegen oo.
=[1/W(u)]*[u/eu]
Jetzt setzen wir t=eu also u=ln(t)
Der gesuchte Grenzwert ist:
[1/W(u)]*[ln(t)/t] für t gegen oo
lim[ln(t)/t]=0 für t==>oo dies ist ein bekannter
Grenzwert.
lim[1/W(u)]=1/oo=0 für u==>oo
Also lim[f(x)]=0*0=0 für x==>oo.
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