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Leila
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 17:37: | 
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In einer Fabrikhalle soll ein in zwei Kammern unterteilter Lüftungskanal eingebaut werden. Der Gesamtquerschnitt soll 3 m² betragen. Wie müssen die Maße x und y gewählt werden, wenn der Materialverbrauch minimiert werden soll?
Wie komme ich hier überhaupt auf die Zielfunktion?
Verstehe das irgend wie nicht. |
ricewind
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 18:09: |
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Voraussetzung: Querschnitt des Lüftungskanals ist ein Rechteck, Wände werden als unendlich dünn angenommen
Legen wir den Lüftungskanal so vor uns, dass eine Kammer links neben der andern liegt (und nicht darüber), z.B. in einem Koordinatensystem liege die linke Kammer zum Beispiel auf dem Rechteck ABCD mit Ecken A(0|0), B(1.5|0), C(1.5|1), D(0|1) und die rechte Kammer auf dem Reckeck CBEF mit Ecken E(3|0) und F(3|1) (nur ein Beispiel)
Der Abstand zwischen A und D sei gleich y, der zwischen A und E sei x.
Zielfunktion ist f(x,y)=2x+3y, da eine obere Wand der Länge x und eine untere ebenfalls Länge x gebraucht werden, sowie eine linke, eine rechte der Höhe y und noch eine mittlere Trennwand der Höhe y.
Nebenbedingung ist x*y=3 [m²],
setze diese in A(x,y) ein , dazu forme sie vorher um:
x*y=3 |:x
y= 3/x
f(x,y)=2x+3*(3/x)
f ist nur noch Funktion von x:
f(x)=2x+9/x
Ableitung:
f'(x)=2-9/x²
f"(x)=18/x³
erste Ableitung gleich Null setzen:
2-9/x²=0 <=> 2=9/x² <=> x²=9/2 <=> x=3/Ö2
f"(3/wurzel{2})>0 => Minimum, also ist der Materialverbrauch minimal, wenn x=3/Ö2 ist, damit wird y=3/x=3/(3/Ö2)=Ö2 |
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