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Beitrag |
    
markus
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Januar, 2000 - 22:46: | 
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y=fa(x)=ax^2-1/x^2-a und a e R
Ausführliche Kurvendiskussion in Abhängigkeit von a
Ermittlung der Stammfunktion
Die Diskussion soll anhand einer geeigneten Fallunterscheidung durchgeführt werden.
Ich habe da an die Fälle a=0 und a=1 gedacht,da diese Fälle Sonderfälle darstellen.
Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar,da mein Zeitraum sehr eng ist und ich insbesondere mit der Darstellung mit dem PC größere Probleme habe.
Vielleicht könnt ihr mich auch anmailen und wir könnten es telefonisch oder vor Ort besprechen.
Ps. Komme aus dem Raum Ulm/Donau
Allen noch ein gutes neues Jahr |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Januar, 2000 - 07:45: |
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Lautet deine Funktion nicht etwa:
f(ax)=(ax²-1)/(x²-a) ? |
markus
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Januar, 2000 - 13:40: |
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korrekt, also seht ihr schon wo meine Probleme liegen,nämlich an der Darstellung.
Hoffe auf weitere Kommunikation
Danke |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Januar, 2000 - 22:10: |
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Hallo Markus
Dies ist eine längere Kurvendiskussion falls man alle Details berücksichtigen will.
Deshalb nur eine teilweise Antwort.
f(a,x)=(ax²-1)/(x²-a)
Definitionsbereich:
Nenner nicht =0
x²-a=0
x²=a
für a>=0 x=±Wurzel(a)
Definitionsbereich: R außer ±Wurzel(a)
für a<0 keine Lösung für x
Definitionsbereich: R
=================
f'(x)=2x(1-a²)/(x²-a)²
Wir untersuchen nun das Vorzeichen von f'
Nenner immer pos. also Vorzeichen f' wie Vorzeichen Zähler.
3 Fälle:
a=0
===
f'(x)=0 für alle x, also ist f(x) eine Konstante
f(x)=1...horizontale Gerade.
a<|1|
=====
für x pos. ist f'(x) pos. d.h. f(x) steigend
für x neg. ist f'(x) neg. d.h. f(x) fallend
a>|1|
====
für x pos. ist f'(x) neg. f(x) fallend
für x neg. ist f'(x) pos. f(x) steigend
======================================
Nullstellen von f(x):
ax²-1=0
x²=1/a
für a pos.: x=1/Wurzel(a) zwei Nullstellen
für a neg.: keine Lösung: keine Nullstellen
=====================================
Jetzt must du Grenzwerte für alle Grenzen des Definitionsbereiches bestimmen, dann noch
Extremwerte (also f'(x)=0 untersuchen), Asymptoten suchen, Krümmung (konkave,konvex) bestimmen.
Nach dem Aussehen der Kurven, kann man diese in folgende Bereiche einteilen:
1) -oo<a<-1
2) -1<a<0
3) 0<a<1
3) 1<a<+oo
=====================================
Ich habe für jeden Bereich eine charakteristische Kurve gezeichnet und werde versuchen, diese Graphen an die Antwort anzuhängen.
Die Bilder sind für
a=-3
a=-0,2
a=0,8
a=3
Für a=0 ergibt sich das bekannte Schaubild für -1/x².
=================================
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Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Januar, 2000 - 23:02: |
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Nur zwei kurze Anmerkungen :
1.Das Monotonie-Verhalten läßt sich auch aus den Extremwerten erkennen.
2.Die Ableitungsaussage f'(x)=0 für a=0 ist natürlich falsch,wie man auch aus den Graphen erkennen kann.Für a=0 ist f'(x)=2/x3 |
markus
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2000 - 00:34: |
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Herzlichen Dank für die Hilfe!!!
Aber für a=1 gibt es z.B. keinen Schnittpunkt mit der x-Achse,da dies eine waagrechte Gerade zur x-Achse ist.
Könntet ihr vielleicht noch was zur Stammfunktion und zum Verhalten an den Definitionsgrenzen sagen.
Ich weiss dies ist eine aufwendige K-Diskussion,aber ich brauche eure Hilfe.
Danke |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2000 - 10:27: |
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Hallo,
Zuerst vielen Dank an Ingo, der meinen Fehler aufgedeckt hat.
Die 3 Fälle für a müssen natürlich heißen:
a=1
a kleiner 1
a größer 1
Fälschlicherweise habe ich a=0 getippt.
=======================================
Zum Grenzverhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches:
also für x=oo
x=-oo
x=Wurzel(a)
x=-Wurzel(a)
1) für x=>oo und x=>-oo
=======================
Man dividiert (ax²-1):(x²-a)=a+(a²-1)/(x²-a)
lim(f)=a+0=a
=============
Grenzwert für x=>oo gleich a heißt: f hat eine Asymptote y=a
2) für x=>+Wurzel(a)
===================
(gilt ja nur für a>=0)
lim(f)=(a*a-1)/(a-a)=(a²-1)/±0=±oo
(Schreibweise nicht ganz korrekt aber, wie ich hoffe verständlich)
Der obige Nenner: x²-a ist positiv falls x von recht kommt, also von x>a): also ist der rechtsseitige Grenzwert +oo.
Der linksseitige ist -oo.
3) für x=> -Wurzel(a)
===================
Der Nenner: -x²-a ist negativ falls x von rechts kommt und positiv falls x von links.
Also
rechtsseitiger Grenzwert: -oo
linksseitiger Grenzwert: +oo
===============================================
Die Funktion hat also für x=±Wurzel(a) jeweils einen Pol (=vertikale Asymptote).
===========================================
Stammfunktion:
=============
f(x)=(ax²-1)/(x²-a)=a+(a²-1)/(x²-a)
ich schreibe nun W(a) für Wurzel(a)
Eine Stammfunktion von 1/(x²-a) ist:
1/(2W(a))*ln|(x-W(a))/(x+W(a))|
(falls nötig in einer Formelsammlung nachsehen!)
also Stammfunktion von f(x):
ax+[(a2-1)/2W(a)]*ln|[x-W(a)]/[x+W(a)]|+C
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markus
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2000 - 11:47: |
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Nochmals Danke für eure Hilfe!!
nur bei mir sieht der ln-Term so aus:
ln l[W(a)+x]/[W(a)-x]l
und diese Stammfunktion gilt genauso wie deine
auch nur für a>0
Könntet ihr das nochmals überprüfen und stimmt es,
dass Wendepunkte nur existieren wenn a< -W(3)
gewählt wird und könntet ihr mir dann noch die Ortsgleichungen des Wendepunktes angeben.
Danke |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2000 - 12:43: |
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Stammfunktion:
(W(a)-x) unterscheidet sich von
(x-W(a)) nur durch das Vorzeichen
Durch das Absolutzeichen ist die Schreibweise egal.
Du hast allerdings den Kehrwert als Argument der ln-Funktion. Dies ergibt wieder ein negatives Vorzeichen gegenüber meinem Resultat!
ln(x)=-ln(1/x)
Die beiden Stammfunktionen sind also nicht gleich!
Es sei denn bei dir ist der Faktor (a²-1) ebenfalls umgedreht, also (1-a²).
Ausserdem muss es auch eine Stammfunktion für a negativ geben. Darüber müßte ich noch nachdenken.
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Wendepunkte:
Deine Aussage: WP nur für a<-W(3) dürfte nicht stimmen.
Siehe mein Bild für a=-0,2 (zweites Bild)
Wendepunkte bestehen für alle a kleiner 0.
========
Wendepunkte können berechnet werden mit
f"(x)=0
Dies dürfte nicht allzu schwer sein.
Mein Computer sagt:
Wendepunkte (natürlich nur für a negativ)
bei -(1/3)*W(-3a) und (1/3)*W(-3a)
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markus
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2000 - 13:06: |
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Bei der Stammfunktion ist alles klar,bei mir ist der vordere Term so wie du ihn hingeschrieben hast,also passt.
Und für a<0 könnte man da nicht mit Betragsstrichen unter der Wurzel agieren
Desweiteren, die 2. Ableitung lautet doch
fa``(x)=(6a^2x^2-6x^2+2a^3-2a)/(x^2-a)^2
Setzt man dies =0 so erhalte ich
x Betrag =Wurzel aus (a-a^3)/(a^2-3)
Könntest du das mal überprüfen
Danke |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2000 - 14:09: |
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Die zweite Ableitung hat im Nenner
( )³
also:
f"(x)=[-6a²x²-2a³+6x²+2a]/[a-x]³
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Nenner nicht null: x nicht W(a)
Den Zähler =0 gesetzt:
(6-6a²)*x²+2a-2a³=0
x²=(a³-a)/(3-3a²)=(1/3)*(a³-a)/(1-a²)=
=(1/3)*(-a)
x=±W(1/3)*W(-a)=±[W(3)/3]*W(-a)=±(1/3)W(-3a)
gilt für alle a kleiner Null.
für a größer Null: keine Lösung d.h. keine WP.
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Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2000 - 17:08: |
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Und noch eine Korrektur:
f" hat im Nenner
(a-x²)³ und nicht (a-x)³
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Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2000 - 18:34: |
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Stammfunktion für a kleiner 0:
Wir haben ja eine Stammfunktion für a= positiv gefunden.
Aus dem Schaubild für a negativ erseht man aber, dass die Funktion auch für diesen Fall integrierbar ist.
f(x)=(ax²-1)/(x²-a)=a+(a²-1)/(x²-a)
Es geht also um die Stammfunktion von: 1/(x²-a)
für a<0
Wir setzten a=-r² also r=W(-a)
1/(x²-a)=1/x²+r²
Stammfunktion aus der Formelsammlung
=1/r*arctan(x/r)
zurücksubstituieren:
=[1/W(-a)]*arctan(x/W(-a))
sodass die ganze Stammfunktion von f(x)=
ax+(a²-1)*[1/W(-a)*arctan(x/W(-a))]+C für a<0
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Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Januar, 2000 - 22:35: |
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Kleiner Tip zum Schluß : Die Ableitungen lassen sich in folgender Form einfacher berechnen und die Ergebnisse auch schneller ablesen.
f(x)=a+(a2-1)*1/(x2-a)
f '(x)=(a2-1)*(-2x)/(x2-a)2
f ''(x)=(-2)*(a2-1)* d/dx (x/(x2-a)2)=...=2(a2-1)*(3x2+a)/(x2-a)3 |
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