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Beitrag |
    
Tatjana (Meine_Rose)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Mai, 2001 - 18:27: | 
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Hallo,:-)
Ich bitte Sie, wenn Sie helfen können. Ich habe bald Klausur. Ich kann nicht bis Ende verstehen, wie man das rechnen kann. Bitte, Hilfeeeeeee! Wenn Sie können etwas erklähren, besonderes über Lücken und Polen, wann sie und wie sie man rechnen und zeichnen kann.
Aufgabe:
f(x)=(x^2-4)^2/(x^2-1)^2;
g(x)=x^3/(x^2-1)^2;
h(x)=x^2-4/x^3;
p(x)=x^3/x^2/x^2+x^2;
g(x)=x^2-1/(x^2-x)^2.
1. Berechnen Sie den maximalen Definitionsbereich von f in R!
2.Erläutern Sie, ob der Graph Gf symmetrisch zu Koor-Achse ist.
3. Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkten mit x- Achse!
a)Schnittpkt. mit der Y-Achse Bed. 0=Df
b)Berührpkt.
4)Grenzwerte
5)Skizzieren Sie Graphen!
Besten Dank für Ihre Hilfe!!!
Tatjana |
doris
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 12:45: |
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Hallo Tatjana. Ich versuche, Dir zu helfen.
Zur 1. Funktion f(x):
Grundsätzlich: Wenn ich den maximalen Def.bereich bestimmen will, muß ich danach fragen, ob es reelle Zahlen gibt, für die die Funktion nicht definiert ist. Das ist an all den Stellen der Fall, an denen der Nenner Null wird. Deshalb muß ich untersuchen, an welchen Stellen der Nenner Null wird und diese muß ich ausschließen.
Bei f(x) heißt der Nenner (x^2^1)^2. Also ist folgende Gleichung zu lösen:
(x^2-1)^2=0
x^2-1=0
x^2=1
erste Lösung: x1=1
zweite Lösung:x2=-1
Das bedeutet für den maximalen Def.bereich, dass zum Def.bereich alle reellen Zahlen außer 1 und -1 gehören, da an diesen Stellen der Nenner Null wird.
Dies sind auch gleichzeitig die Polstellen.
Eine Stelle x0 heißt Polstelle, wenn die Nennerfunktion an dieser Stelle Null wird, die Zählerfunktion an dieser Stelle nicht Null ist.
Setze ich in den Zähler der Funktion f(x) entsprechend 1 bzw. -1 ein, so erhalte ich nicht Null. Der Nenner ist an diesen Stellen Null. Also Polstellen.
Pole bei gebrochenrationalen Funktionen sind senkrechte Asymptoten.
Zur Symmetrie:
Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse,da gilt: f(x)=f(-x).
Zu Schnittpunkt mit der x-Achse (nullstellen):
Dazu muß ich die Funktionsgleichung Null setzen oder gleich nur die Zählerfunktion Null setzen:
(x^2-4)^2=0
x^2-4=0
x^2=4
erste Lösung: x1=2
zweite Lösung:x2=-2
Der Graph der Funktion hat also bei x1=1 und x2=-1 jeweils Nullstellen.
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Dazu mußt Du in die Funktionsgleichung von f(x) für x Null einsetzen:
f(0)=(0^2-4)^2/(0^2-1)^2=16
Das heißt, der Graph der Funktion schneidet bei y=16 die y-Achse.
Was bei all diesen Funktionen mit Berührungspunkt gemeint ist, weiß ich nicht so richtig. Die Funktion f(x) berührt die x-Achse an ihren Nullstellen x1=2 und x2=-2, da es sogenannte "Doppelnullstellen" sind. Das kommt durch die Quadrate.
Ich könnte dies natürlich auch ermitteln, indem ich die Extremwerte dieser Funktion über die 1. und 2. Ableitung berechne und würde dann herausbekommen, dass an den Stellen x1=2 und x2=-2 jeweils ein Minimum vorliegt, dass die y-Koordinate 0 hat; also die x-Achse berührt.
Vor der Ermittlung der Grenzwerte für x gegen + bzw. -Unendlich würde ich die Binome in der Funktionsgleichung auflösen, und die Gleichung sehe dann so aus:
f(x)=(x^4-8x^2+16)/(x^4-2x^2+1)
Bei der Ermittlung des Grenzwertes würde ich nun im Zähler und Nenner jeweils x^4 ausklammern und dies kürzen. Nach Anwendung der Grenzwertsätze erhält man dann (1-0+0)/(1-0+0)=1
Das heißt: Für x gegen + bzw. - Unendlich strebt die Funktion gegen 1.
Also mit Skizze kann ich leider nicht dienen. Ich bin erst seit 4 Wochen im Internet und auch schon ein etwas älteres Semester. Wie ich hier eine Skizze reinkriegen soll weiß ich nicht.
In der gleichen Weise sind alle anderen Funktionen zu behandeln.
Zu g(x)=x^3/(x^2-1)^2
Def.bereich:
(x^2-1)^2=0
x^2-1=0
x^2=1
x1=1 x2=-1
Zum Definitionsbereich gehören alle reellen Zahlen außer 1 und -1.
Dies sind auch die Pole.
Zur Symmetrie:
g(-x)=(-x)^3/((-x)^2-1)^2 = -x^3/(x^2-1)^2
-g(x)=-x^3/(x^2-1)^2
Es gilt: g(-x)=-g(x); es liegt also Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs vor.
Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstellen):
x^3=0
x=0
Die Funktion hat an der Stelle x=0 eine Nullstelle.
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Ich setze in die Funktionsgleichung für x den Wert 0 ein:
g(0)=0^3/(0^2-1)^2=0
Der Graph der Funktion schnet die y-Achse bei y=0, also im Koordinatenursprung.
Hier bin ich mit meinem Wissen am Ende bezüglich des Berührungspunktes. Jedenfalls gibt es keinen Berührunspunkt mit der x-Achse. Der Graph der Funktion schnet die x-Achse bei x=0 und berührt sie nicht nur.
Zum Grenzwert:
Auch hier würde ich im Nenner zunächst das Binom auflösen und erhalte für g(x) dann:
g(x)=x^3/(x^4-2x^2+1)
Bei der Bestimmung des Grenzwertes für x gegen + bzw. - Unendlich klammere ich jetzt im Zähler und Nenner x^4 aus, weil es die höchste im Nenner vorkommende Potenz ist.
Kürze dann x^4 und bestimme nach den Grenzwertsätzen: 0/(1-2+1)=0
Für x gegen + bzw. - Unendlich strebt die Funktion gegen 0.
Mit der Funktion p(x) habe ich ein Problem. Hast Du Dich vertippt ? Vielleicht wären ein paar Klammern gut.
Kommst Du jetzt mit der letzten Aufgabe selber klar?
Ich sage Dir die Lösungen:
Def.Bereich: Menge der reellen Zahlen außer 0 und 1
Pole: x1=0 ; x2=1
Nullstellen: x=-1
Grenzwert für x gegen + bzw. - Unendlich:0
Ich hoffe, dass ich Dir ein wenig helfen konnte.
Viele Grüße
doris
Kommst Du mit den anderen |
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