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Achill und die Schildkröte (Grenzwert...

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Quedsten
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Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 18:53:   Beitrag drucken

Achill soll einen Wettkampf gegen eine Schildkröte austragen.Da er zehnmal so schnell läuft,bekommt die Schildkröte einen Vorsprung von 100m.Er kann die Schildkröte nicht einholen,da sie einen Vorsprung von 10m hat wenn er die 100m gelaufen ist,nachdem Achill die 10m bis zur Schildkröte geschafft hat,hat diese wieder einen Vorsprung von 1m.Zwar schrumpft der Vorsprung der Schildkröte,aber Achill wird sie nicht einholen.

Aufgabe: Folge aufstellen und erste 5 Folgeglieder ausrechnen.Warum wird die Schildröte nie eingeholt??

Null Ahnung von dem Zeugs,bitte helft mir!
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Markus
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Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 20:11:   Beitrag drucken

Hallo Quedsten!
Gehen wir davon aus, daß Achill ein sehr guter Läufer ist und die 100 Meter (m) in 10 Sekunden (s) schafft (Teilnahme an den Olympischen Spielen sicher).
Achill bzw. Schildkröte: 100m bzw. 10m in 10s
folglich 10m bzw. 1m in 1s
folglich 1m bzw. 0.1 in 0.1s
folglich 0.1m bzw. 0.01 in 0.01s
folgich 0.01m bzw. 0.001 in 0.001s
e.t.c ....
Dann ist er nach 10s da, wo die Schildkröte am Start war. Diese ist (da 10 mal langsamer) nur 10m weitergelaufen. Die 10 Meter schafft Achill dann wiederum in 1s, während die Schildkröte aber diesmal 1m weiterkommt. Während Achill diesen Meter in 0.1s läuft kommt die Schildkröte dann 0.1m weiter. Diese 10cm läuft Achill in 1/100 Sekunde. Ich denke Du weißt wie´s weitergeht?! Die Folgelieder von Achill: 100, 10, 1, 0.1, 0.01
Die der Schildkröte: 10, 1, 0.1, 0.01, 0.001
Alle zusammen ergeben den gelaufenen Weg.
Also: s(Achill)=100*(1+1/10+1/100+1/1000+1/10000+...)=100*summe(0.1^n)
s(Schildkröte)=Vorsprung+10*(1+1/10+1/100+1/1000+1/10000+...)=100+10*summe(0.1^n)
Wir haben also bei beiden Läufern eine geometrische Summe, die immer ein bischen größer wird. Es wird behauptet: s(Schildkröte)>s(Achill)
Also: 100+10*summe(0.1^n)>100*summe(0.1^n)
oder: 100> 90*summe(0.1^n)
Die Summe wird am größten, wenn n gegen unendlich geht. Dann wird aus der geometrischen Summe eine geometrische Reihe. Dafür haben wir eine Formel aus dem Mathe-Buch. (Reihe(q^n) = 1/(1-q) für -1<q<1 für n=0..unendlich, wobei hier q=0.1 ist)
Also ist die rechte Seite immer kleiner oder gleich: 90*1/(1-0.1)=100! Die rechte Seite ist also immer kleiner oder genau im Grenzfall gleich 100, also ist Achill immer hinter der Schildkröte. Im Grenzfall erreicht er sie! Dies kann Achill aber erst nach "unendlich" vielen Nachlaufversuchen schaffen.

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