| Autor |
Beitrag |
    
seufz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 17:00: | 
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In einem Quadrat werden auf jeder der 4 Seiten Teilungspunkte im Verhätnis 3:4 eingezeichnet. DIe Verbindung dieser Punkte ergibt wieder ein QUadrat, dem auf gleiche Weise wieder ein Quadrat eingeschrieben wird. Bestimmte die Summe aller Flächeninhalte der Quadrate, die sich durch das unendlich fortgesetzte Einschreiben in ein vorgegebenes Quadrat der Seitenlänge 7cm ergeben. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 22:37: |
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Die Seitenlänge des Original-Quadrats sei a.
Dann ist die Seitenlänge des ersten eingeschriebenen Quadrats gleich 5/7*a
Warum? Weil die Seitenlänge des neuen Quadrats die Länge der Hypotenuse in einem Dreieck mit den Katheten 3/7*a und 4/7*a ist. Abgesehen von 1/7*a ist das also ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten 3 cm und 4 cm. Die Hypotenuse ist nach Pythagoras gleich 5, bzw. mit konstantem Faktor gleich 5/7*a.
Die Summe der Flächen der Quadrate ist also:
a * Sn i=1 (5/7)i
Ausrechen bis zu einem bestimmten n oder im Grenzwert mit der Formel für geometrische Folge.
Gruß
Matroid |
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