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seufz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 16:57: | 
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Bestimmte die Summe aller Flächeninhalte der Quadrate, die sich durch das unendlich forgesetzte EInschreiben in ein vorgegebenes Quadrat der Seitenlänge 8cm ergeben.
Noch ein Beispiel!! Bitte auch um Erklärung, wenn es wer lösen kann! |
Lerny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Mai, 2001 - 12:11: |
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Hallo seufz
zuerst mal eine Skizze
Das gegebene Quadrat mit der Seitenlänge a=8cm hat den Flächeninhalt A0=a²=8²=64
Nun zum 1. ersten einbeschriebenen Quadrat:
Es hat die Seitenlänge a1. Diese lässt sich mit dem Satz von Pythagoras wie folgt berechnen:
a1²=(a/2)²+(a/2)²=a²/4+a²/4=a²/2
Daruas folgt für den Flächeninhalt
A1=a1²=a²/2
Für das dann folgende Quadrat gilt:
a2²=(a1/2)²+(a1/2)²=a1²/2=a²/4; also
A2=a²/4=a²/2²
A3=a²/8=a²/2³
usw.
An=a²/2n
Hieraus folgt für die Summe aller Flächeninhalte:
Summe=A0+A1+A2+..+An
=a²+a²/2+a²/4+a²/8+....+a²/2n
=a²(1+0,5+0,5²+0,5³+...+0,5n)
Da der Klammerausdruck die geometrische Reihe ist, gilt
S=a²*(1/(1-0,5))=2a²
Für a=8 also
S=2*64=128cm²
mfg Lerny |
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