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Beitrag |
    
SimonB
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 12:57: | 
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Also ich sollte folgende Aufgabe lösen (und das bis Mo):
Gegeben: Erdraudius 6380 km und ein Dreieck mit A=B=C=100 km [wobei A die Seite und a den Winkel alpha des Dreiecks bezeichnet]
1) Fläche euklidisch berechnen
2) F, a, b, c sphärisch berechnen und %-Unterschied feststellen
Also 1) hab ich gekonnt *g*: F=wurzel(100^2-50^2)*100/2= 4330.13 km^2
Aber bei 2) hab ich so meine Mühen. Um F auszurechnen brauche ich ja alle Winkel. Diese sind hier alle gleichgross. Aber wie gross? Mit dem Winkel-Cos-Satz komme ich nicht so ganz nach. Ich bekomme mit 100'000 m:
[DEG] cos(100000)=cos(100000)*cos(100000)+sin(100000)*sin(100000)*cos(a) --> a=81.5° (umgerechnet: 1.42)
[RAD] cos(100000)=cos(100000)*cos(100000)+sin(100000)*sin(100000)*cos(a) --> a=3.14 - 8*i [wobei i = Imaginär...]
und wenn ich mit 100km rechnen will:
[DEG] cos(100)=cos(1000*cos(100)+sin(100)*sin(100)*cos(a) --> a=102.13° (umgerechnet: 1.78)
[RAD] cos(100)=cos(1000*cos(100)+sin(100)*sin(100)*cos(a) --> a=1.08°
Wie kann das sein, dass ich hier auf solch verschiedene Lösungen komme und welche davon ist jetzt richtig?
Die Flächenformel für sphärische Dreiecke lautet doch: F=(a+b+c)*r^2 wenn a, b, c im RAD sind oder?
Ich wäre für eine Erklärung sehr dankbar.
MfG SIMON |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 22:01: |
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Hi SimonB,
Ich möchte hier helfend und auch etwas korrigierend einwirken
Das Konzept zur Lösung Deines Problems sei kurz skizziert1
1.
Die Berechnung der Fläche F des ebenen Dreiecks bietet keine
Schwierigkeiten.
Ich erhalte mit der Formel für die Fläche A des ebenen gleichseitigen
Dreiecks , Seitenlänge s = 100 km ,dasselbe Resultat wie Du.
F = s ^ 2 / 4 * wurzel (3) ~ 4330,127019 km^2
2.
Die Fläche A eines sphärischen Dreiecks auf der Erdkugel
berechnet sich aus dem Radius R = 6380 km und dem
sogenannten sphärischen Exzess epsilon des Dreiecks nach
der Formel
A = R^2 * epsilon
Der sphärische Exzess ist der Ueberschuss der Winkelsumme W
des sphärischen Dreiecks über Pi hinaus, also:
epsilon = W - Pi.
3.
Wir ermitteln zuerst die Seiten a = b = c des gleichseitigen Dreiecks
je als Quotient der Bogenlänge b = 100 km durch R
( Winkel im Bogenmass ) ,somit:
a = b = c = 100 / 6380 ~ 0,01567398
4.
Es ist an der Zeit, epsilon zu ermitteln
Dazu stehen uns zwei Methoden zur Verfügung
A]
Ermittlung der Winkel alpha = beta = gamma des Dreiecks
mit Hilfe des Seitenkosinussatzes
NB: Das Dreieck ist von selbst auch gleichwinklig
B]
Wir verwenden die Gleichung von Simon l'Huilier, welche
gestattet, den sphärischen Exzess direkt aus den drei Seiten
des Dreiecks zu berechnen.
Methode A]
Wir lösen den Kosinussatz
cos a = cos b * cos b + sin b * sin c * cos (alpha) nach cos (alph a) auf und erhalten:
cos (alpha ) = [ cos a - cos b * cos c ] / [sin b * sin c]
Da b = c = a gilt, entsteht daraus:
cos (alpha) = cos a * [1 - cos a ] / ( sin a ) ^ 2 = cos a / ( 1 + cos a) ,
daraus cos(alpha ~0,4999692895
alpha = beta = gamma ~ 1,0472330
Exzess epsilon = 3* alpha - Pi ~ 1,0638241 * 10^ -4
Fläche A = R^2 * epsilon ~ 4330,23 km^2
Methode B]
In der Formel von L' Huilier tritt der halbe Umfang s des Dreiecks auf:
s =1/2 * (a+b+c) = 3*a / 2, ferner treten auf:
s - a = ½ * a ,s - b = ½ * a , s - c = ½ * a
Die genannte Formel lautet:
tan [ epsilon / 4 ] = wurzel [ tan {s/2}*tan {(s-a)/ 2 }*tan {(s-b) / 2} *tan {(s-c) / 2)}]
in unserem Fall also:
tan [ epsilon / 4 ] = wurzel [ tan { 3*a / 4} * ( tan {a / 4} ) ^3 ] ~ 2,65957734*10^ -5,
daraus
epsilon ~1,063830 *10^ - 4
Wiederum:
A ~ 4330,26 km^2
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Prozentuale Abweichung
(A-F) / F*100 ~3*10 ^ - 3
Man kann getrost in diesem Bereich (auf einer Yachtfahrt z.B.)
mit euklidischer Geomtrie sich vorlieb nehmen ! |
SimonB
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Mai, 2001 - 14:43: |
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Vielen Dank!
Mein Fehler war, dass ich jeweils mit den Seitenlängen a=100=b=c weitergerechnet habe, und diese nicht zuerst umgewandelt hab. Jetzt bin ich schlauer! |
Salih
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Juli, 2001 - 19:06: |
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Hi ich studiere in Karlsruhe und habe morgen eine Trigonometrie-Prüfung. Und das stinkt mir echt. Das ist so ein Müll mit den sphärischen Dreiecken und Meridiansachen Orthodrome usw.##
Ich hab echt den Kopf voll und bin froh, wenn ich diesen Unsinn hinter mir hab.
Viel Erfolg euch noch, ihr Streber. |
Frosch
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Juli, 2001 - 19:36: |
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Warum studierst Du denn ??????? |
Hilas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 13:32: |
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Und, Salih, wie war die Prüfung? |
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