| Autor |
Beitrag |
    
Patrick
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 08:37: | 
|
Wer kann mir die Nullstellen, Ableitungen, Periode, Schwingungsfunktion und Extrema berechnen. |
Lerny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 12:53: |
|
Hi Patrick
Nullstellen
f(x)=sinx*cosx=0
sinx=0 oder cosx=0
x=k*pi oder x=(2k+0,5)*pi (k Element der ganzen Zahlen)
Ableitungen:
f(x)=sinx*cosx
Wegen (sinx)'=cosx und (cosx)'=-sinx folgt mit Produktregel:
f'(x)=cosx*cosx+sinx*(-sinx)
=cos²x-sin²x=(1-sin²x)-sin²x=1-2sin²x
f"(x)=-2*[2sinx*cosx]=-4sinxcosx
f'"(x)=-4*[f'(x)]=-4*[1-2sin²x]=-4-8sin²x
Periode: pi
Extrema:
f'(x)=0
1-2sin²x=0
2sin²x=1
sin²x=1/2
sinx=±0,5*Ö2
x=(4k+1)pi/4 oder x=3(4k+1)pi/4 (k aus Z)
f"(pi/4)=-4[sin(pi/4)*cos(pi/4)]=-4*(0,71*0,71))=-4*0,5=-2>0=>max
f"(3pi/4)=-4[sin(3pi/4)*cos(3pi/4)]=-4[0,71*(-0,71)]=-4*(-0,5)=2=>min
mfg Lerny |
doris
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 13:24: |
|
Hallo Patrick, Nullstellen,(wieviel)Ableitungen, Periode und Extrema kann ich Dir berechnen. Mit der Schwingungsfunktion kann ich nichts anfangen.
Zu den Nullstellen:
sinx*cosx=0
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Also muß ich fragen, wann wird sinx=0 und wann wird cosx=0.
Die Funktion f(x)=sinx wird hat bei allen ganzzahligen Vielfachen von Pi Nullstellen.
Die Funktion f(x)=cos(x) wird bei allen ungeraden Vielfachen von Pi/2 Null. Wenn beides gleizeitig gelten soll, hat die Funktion f(x)=sinx*cosx bei allen ganzzahligen Vielfachen von Pi/2 Nullstellen.
Zu den Extrema:
Es ist zunächst die 1. Ableitung zu bilden. Da sinx*cox ein Produkt ist, muß die Produktregel angewendet werden.
u=sinx u'=cosx
v=cosx v'=-sinx
Dann ergibt sich nach der Produktregel:
f'(x)= cosx*cosx + sinx*(-sinx)
= (cosx)^2 - (sinx)^2
Die 1. Ableitung muß Null gesetzt werden:
(cosx)^2 - (sinx)^2 = 0
Jetzt verwende ich eine aus der Trigonometrie her bekannte Beziehung: (sinx)^2+(cos)^2=1
Diese Beziehung stelle ich nach (sinx)^2 um und setze dies für (sinx)^2 in die Null gesetzte 1. Ableitung ein:
(cosx)^2 - 1 + (cosx)^2 = 0
2*(cosx)^2 - 1 = 0
2*(cosx)^2 = 1
(cosx)^2 = 0,5
erste LÖsung: cosx = Wurzel(0,5)
zweite Lösung: cosx = -Wurzel(0,5)
Für die erste Lösung erhält man x = 0,7854,
für die zweite Lösung ergibt sich x = 2,3562
Dies sind extremwertverdächtige Stellen.
Zu überprüfen mittels 2. Ableitung:
1. Ableitung war: f'(x)= (cosx)^2-(sinx)^2
Zur Bestimmung der 2. Ableitung wird die Kettenregel angewendet, um die Ableitungen für (sinx)^2 und (cosx)^2 zu ermitteln.
Es ergibt sich als Ableitung für (cosx)^2:
-2*sinx*cosx
Als Ableitung für -(sinx)^2 ergibt sich nach der Kettenregel: -2*sinx*cosx
Somit erhält man als 2. Ableitung:
f''(x)= -2*six*cosx - 2*six*cosx = -4*sinx*cosx
Setzt man jetzt die beiden Lösungen in die zweite Ableitung ein, erhält man:
f''(0,7854) ist kleiner Null, also Maximum und
f''(2,3562) ist größer Null, also Minimum
Erinnern wir uns an die Nullstellen:
Die Funktion verläuft durch den Koordinatenursprung und hat aller ganzzahliger Vielfache von Pi/2 eine Nullstelle. Es wiederholt sich alles demzufolge nach Pi. Somit ist die Periode Pi.
Für die Extremwerte bedeutet das, dass die Extremwerte sich wiederholen, wenn ich Vielfache von Pi addiere bzw. subtrahiere.
Der jeweils zugehörige Funktionswert der Minima ist -0,5; der der Maxima 0,5.
Ich hoffe, es hilft ein wenig.
Viele Grüße Doris |
|
