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Beitrag |
    
Mmoo (Mmoo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Mai, 2001 - 22:28: | 
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Bitte um Hilfe!
Aufgabe: Beweisen sie mittels vollständiger Induktion
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... +n^3 = 1/4 * n^2 * (n+1)^2
Danke... |
Fabi (Fabi)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 02:08: |
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Hallo Mmooo!
Hier so die groben Schritte :
Ind.anfang:
n=1:
1^3=1/4 * 1*2^2=1 => wahr
Ind. hypothese: Es gilt:
1^3+2^3+...+n^3=1/4 * n^2 * (n+1)^2
Ind. schluß: (hier noch mehr ausmultiplizieren)
Es gelte auch für
1^3 + 2^3 + ... + n^3+(n+1)^3=1/4*(n+1)^2*(n+2)^2
1/4 * n^2*(n+1)^2+(n+1)^3=1/4 * (n+1)^2*(n+2)^2
1/4*n^2*(n+1)^2= 1^4 * (n^2+2*n+1)(n^2+4*n+4)-(n+1)^3
durch ausmultiplizieren erhöltst du dann auf beiden Seiten das gleiche.
Damit ist der Satz bewiesen.
Falls noch Fragen, melde dich einfach! |
Mmoo (Mmoo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 13:36: |
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Danke, aber so ganz verstehe ich das immer noch nicht. Die Induktionshypothese hatte ich ebenso:
1/4 * n^2 + (n+1)^2
Und als Induktionsschluß habe ich auch:
1/4 * (n+1)^2 * (n+2)^2.
Das setzte ich dann ja ein und erhalte: 1/4 * n^2 * (n+1)^2 + (n+1)^3 (Hast Du auch so)
Aber das bekomme ich nie so umgeformt, daß dabei die Induktionshypothese herauskommt.
Habe dann ja:
1/4 * n^2 * (n+1)^2 + (n+1)^3
1/4 * (n+1)^2 * n^2 + n^3 + 3n^3 + 3n + 1
Der Anfang stimmt ja mit der Induktionsvoraussetzung überein, aber wie bekomme ich den Rest so umgeformt, daß er (n+2)^2 wird. Das kann doch gar nicht gehen, wenn ich vorher n^3 habe, oder? |
Lerny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 14:08: |
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Hi Mmoo,
deine Frage lautet also, wie kann ich
1³+2³+...+n³+(n+1)³ so umformen, dass am Ende
1/4*(n+1)²*(n+2)² steht.
1³+2³+...+n³+(n+1)³
=(nach Ind.Hyp)1/4*n²*(n+1)²+(n+1)³
aus der Summe lässt sich (n+1)² ausklammern
=(n+1)²*[1/4*n²+n+1] nun in der Klammer noch 1/4 ausklammern
=(n+1)²*[1/4*(n²+4n+4)] wegen (n²+4n+4)=(n+2)² nach binomischer Formel,
=1/4*(n+1)²(n²+4n+4)
=1/4*(n+1)²(n+2)²
mfg Lerny |
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