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Sabrina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 16:35: | 
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Hy wäre nett wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen könnte! Danke!!
In der ebenen geometrie ist eine Tangente an einen Kreis definiert als eine Gerade, die mit dem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat. Im Rahmen der differentialrechnung wurde allgemin der Begriff Tangente an den Graphen einer ganz-rationalen Funktion f im Punkt (x0;f(x0)) definiert.
a)Wie lautet diese Definition des Tangentenbegriffs in der Analysis?
b)Weisen sie nach, dass eine Tangente an einen Funktionengraph durchaus mehr als einen geminsamen Ounkt mit diesem Funktionengraph haben kann. Wählen sie dazu als Beispielfunktion f mit
f(x)=x³-x²+2. Stellen sie die Gleichung der Tangente im Punkt (3;20) auf, und berechen sie die geimeinsamen Punkte von Funktionsgraph und Tangente.
c)Bei Parabeln zweiter Ordnung vom Typ f(x)=ax² (a ungleich 0) allerdings haben Graph und Tangente (im Sinne der Analysis-Definition gemäß Aufgabenteil a)) in einem Punkt P nur diesen Punkt P gemeinsam.weisen sie diesen Sachverhalt für den Punkt (2;4a) nach.
d)zeichnen sie auf der Normalparabel zu y=x² eien vom Ursprung verschiedenen allgemeinen Punt P=(p;p²) ein. Fällen sie von P das Lot aud die y-Achse und bezeichnen sie den sich ergebenen Lotfußpunkt mit Q. Spiegeln sie nun Q an der x-Achse.Als Spiegelpunkt erhalten sie einen Punkt R.weisen sie nach, dass R der Schnittpunkt der y-Achse mit der Tangente an die Normalparabel im Punkt P ist. |
Lerny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 22:27: |
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Hi Sabrina
b)f(x)=x³-x²+2; P(3/20)
f'(x)=3x²-2x
f'(3)=3*9-2*3=27-6=21
(y-20)=21(x-3)
y-20=21x-63
y=21x-43 ist die Tangentengleichung
Schnittpunkte von Kurve und Tangente
f(x)=y
x³-x²+2=21x-43
x³-x²-21x+45=0 Da 3 als Schnittpunkt bekannt ist, folgt
(x-3)(x²+2x-15)=0
x-3=0 oder x²+2x-15=0
x=3 oder (x-3)(x+5)=0
x=3 oder x=3 oder x=-5
also x=3 oder x=5
Damit schneidet die Tangente in P(3/20) die Kurve noch ein zweites mal in Q(5/62)
c)f(x)=ax² P(2/4a)
f'(x)=2ax
f'(2)=4a
y-4a=4a(x-2)
y-4a=4ax-8a
y=4ax-4a Gleichung der Tangenten in P(2/4a)
Schnittpunkte Tangente und Kurve
f(x)=y
ax²=4ax-4a
ax²-4ax+4a=0 |:a
x²-4x+4=0
(x-2)²=0
x-2=0
x=2
Es gibt also nur einen Schnittpunkt.
d)y=x² P(p/p²)
Zeichnung anfertigen
=>Q(0/p²)
Spiegeln ergibt R(0/-p²)
Tangente in P
y'=2x
m=2p
y-p²=2p(x-p)
y-p²=2px-2p²
y=2px-p² ist Tangente
-p² ist der y-Achsenabschnitt der Tangente.
mfg Lerny |
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