| Autor |
Beitrag |
    
Pascal Rolli (Prolli)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 13:59: | 
|
Einem Hexaeder mit der Kantenlänge a sei ein Dodekaeder einbeschrieben. Welchen Bruchteil des Würfelvolumens füllt er aus ?? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 18:34: |
|
Hi Pascal,
Kenntnisse über das reguläre Dodekaeder, leicht aufgefrischt:
Anzahl der Ecken : e = 20
Anzahl der Flächen f = 12 ( 12 reguläre Fünfecke)
Anzahl der Kanten k = 30
Der Eulersche Polyedersatz ist damit erfüllt: e - k + f = 2 .
Für Deine Aufgabe benötigst Du die Volumenformel:
für d als Kantenlänge berechnet man das Volumen
V1 nach der Formel:
V1 = ¼ * (15 + 7 * wurzel (5) ) *d ^ 3
Die Herleitung dieser Formel kann bei Bedarf
Lehrbüchern der Stereometrie entnommen werden
Um sich eine Vorstellung vom Dodekaeder
zusammen mit dem umgeschriebenen Würfel(Hexaeder),Kantenlänge w, zu erhalten,
entwerfen wir eigenhändig eine Zeichnung ,
am besten mit den Mitteln der darstellenden Geometrie.
Ich beschreibe kurz eine mögliche Darstellung:
Eine Achse des Dodekaeders (Verbindungsgerade der Mittelpunkte
paralleler Gegenkanten) stehe zur Grundrissebene (Zeichenebene)
senkrecht und ebenso ein Kantenpaar, während.
zwei andere Kantenpaare, die unter sich und zum ersten Paar senkrecht
sind, liegen parallel zur Grundrissebene.
Die Projektion des Dodekaeders auf die Grundrissebene kann nun mit
Hilfe des umgeschriebene Würfels
einfach konstruiert werden.
Im weiteren, und das ist die Hauptsache ,entnehmen wir der Figur eine
Beziehung zwischen den Kantenlängen d und w der beiden Körper.
Zwölf Ecken des Dodekaeders liegen zu je zweien auf Mittellinien
der sechs Würfelflächen, die restlichen acht Ecken des Dodekaeders
sind die Ecken eines kleineren Würfels, dessen Kanten mit
Flächendiagonalen des Dodekaeders zusammenfallen.
Dieser kleinere Würfel spielt im folgenden kein Rolle mehr.
In der Figur sind ähnliche rechtwinklige Dreiecke sichtbar,
deren Katheten sich aus d und w wie folgt ergeben:
Im grösseren Dreieck ist die eine Kathete w/2,die andere (w-d)/2.
Die entsprechenden Katheten im kleinen, dazu ähnlichen Dreieck
(w-d)/2 und d/2.
Daraus ergibt sich die Proportion:
w : (w-d) =(w-d) :d,
Die Dodekaederkante d stimmt gemäss dieser
Proportionalität mit dem kleineren Abschnitt
der nach dem goldenen Schnitt geteilten
Würfelkante w überein
Aus der quadratischen Gleichung w^2 -3 w*d + d^2 = 0
berechnen wir :
w = ½ * ( 3 + wurzel (5) ) * d oder
d = ½ * ( 3 - wurzel (5) ) * w
Für den Quotienten Q der Volumina
Dodekaedervolumen / Würfelvolumen erhalten wir:
Q = ¼ * (15 + 7* wurzel(5) )* d ^ 3 / w ^ 3 =
2* (15 + 7 * wurzel (5) ) / ( 3 + wurzel (5) ) ^ 3 ~ 0,427
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 21:04: |
|
Hi Pascal,
Damit Du Dich in Sachen Dodekaeder besser ins Bild
setzen kannst , bringe ich noch zwei Ergänzungen
1.
Eine Herleitung der Volumenformel für das reguläre
Dodekaeder und einiges mehr findest Du im Archiv
unter dem Stichwort
"Merhaba".
2
Für die in meiner letzten Arbeit beschriebenen Normalprojektion
eines Dodekaeders auf die Grundrissebene liefere ich Dir die
Koordinaten ausgezeichneter Punkte franco domizil, damit Du eine
exakte Zeichnung der Situation entwerfen kannst.
Die Daten sind folgende
Kantenlänge w des umgeschriebenen Würfels: w = 10 (cm)
Daraus Kantenlänge d des Dodekaeders: d = ½* (3 - wurzel(5)) ~3,82
Die Punkte W1(5/5),W2(-5/5),,W3(-5/-5),W4(5/-5) sind
die Projektionen der Ecken des umgeschriebenen Würfels.
Der Umriss des Dodekaeders in der Grundrissebene ist ein
(nicht reguläres) Sechseck ABCDEF, wobei die Ecken die folgenden
rechtwinkligen Koordinaten haben:
A( 5 / 1,91 ), B( 0 / 5 ), C ( -5 / 1,91 ), D( -5 / - 1,91 ) , E( 0 / -5) ,
F( 5 / - 1,91).
Die Zahl 1,91 ist eine Näherung für ½ * d.
Auf dem Rand dieses Sechsecks liegen die Punkte
U1(3,09 /3,09), U2( -3,09 / 3,09 ) U3 (-3,09 / -3,09 ) , U4(3,09/-3,09)
Anm. U1,U3 liegen auf der Winkelhalbierenden y = x,
U2 , U4 auf der Winkelhalbierenden y = - x
U1,U2,U3,U4 sind auch die Projektionen der Ecken des im früheren
Text erwähnten kleinen Würfels .
Im Innern des Sechsecks geben wir noch die Punkte V1 und V2
auf der x-Achse durch ihre Koordinaten an:
V1(1,91/ 0) , V2( -1,91/0)
Die Strecke V1V2 stellt sowohl die Projektion der zur
Grundrissebene parallelen höchsten Kante, als auch die Projektion
der dazu parallelen tiefsten Dodekaederkante dar.
Verbinde die Punkte V1U1,V1U4 ,V2U2.V2U3 und V1V2
Im Inneren des Sechsecks erkennst Du wie in einem Vexierbild
vier (nicht reguläre) Fünfecke ,welche die Projektionen von
Seitenflächen des Dodekaeders sind.
Die im früheren Text genannten rechtwinkligen Dreiecke sind
Folgende:
Dreieck E W4 F , Kathete E W4 =w/2, Kathete W4 F = ½ * (w-d)
Dreieck V1 P(5/0) A, Katheten ½ * (w-d) und d/2.
Ich hoffe sehr, dass jetzt vieles klarer geworden ist.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
