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Beitrag |
    
Stephan Lentzsch (Lendo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 12:52: | 
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Vor geraumer Zeit stellte ich mir die Frage, was eine (un)echte gebrochen rationale Funktion ist. Diesem Mangel wurde Abhilfe geschaffen, jedoch reicht es nicht für den Umfang eines Referates aus. Konkret geht es hier um den Fall, dass die Asymptote von dem Graphen geschnitten wird. Meine Ma-lehrerin hat mir die jeweilige Graphiken gezeigt und damit den Anspruch an mich weitergereicht. Es ist schwierig, sich etwas unter dieser Problematik vorzustellen, Internet Recherchen ergaben auch wenig Aufschluß.Über jeden Rat, ob Lsg oder Link, wäre ich endlos dankbar... tok tok |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 13:49: |
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Hallo nochmal, Stephan!
Beim Schnitt eines Graphen einer Funktion f und der dazugehörigen Asymptote ist prinzipiell so vorzugehen, wie bei dem Schneiden zweier unabhängiger Funktionen. Es geht darum festzustellen, wo die Funktion und die Asymptote den gleichen Funktionswert annehmen.
Folgendes Vorgehen führt zum Erfolg:
1. Bestimmung der Asymptotengleichung durch Polynomdivision der ursprünglichen Funktion und somit Umwandlung dieser in eine Summe aus einer ganzrationale Funktion und einer echt gebrochenen Funktion. Der ganzrationale Teil stellt die Asymptotengleichung dar.
2. Gleichsetzen der Funktionsgleichung mit der ermittelten Asymptotengleichung und anschließender Nullstellensuche.
Anschließend kann noch betrachtet werden, von wo aus ("unten oder oben") der Schnitt erfolgt...
Zum krönenden Abschluss noch ein Beispiel:
f(x)=(x²+1)/(x+2)
1. Polynomdivision:
(x²+1) : (x+2) = x - 2 + 5/(x+2)
-(x²+2x)
-----------
-2x
-(-2x-4)
-----------
5
Die Asymptote ist somit fa(x)=x-2
2. x-2 = (x²+1)/(x+2) <=> x²-4=x²+1
<=> -4=1 => keine Lösung, also kein Schnitt
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mfG, Xell :-) |
Stephan Lentzsch (Lendo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 15:09: |
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Ich bedanke mich ein weiteres mal. Noch eine Frage ... Das Schneiden der Asymptote kann nur im Falle einer unechten gebr. rat. Funktion erfolgen, da nur in diesem Fall eine Polynomdiv. anwendbar ist. Lieg ich damit richtig? Der Grad der Polynomen (Zähler und im Nenner) ist davon abhängig,ob die Funktion echt oder unecht ist. Was ist, wenn das Nennerpolynom den selben Grad hat wie das Zählerpolynom? Gehe ich richtig der Annahme, dass höchstens eine ganze Zahl vor der Funktion steht und die Asymptote daher stets waagerecht zur X-Achse steht? Mit einem Rest Sicherheit und einem Beispiel für eine geschnittene Asymptote bin ich der dankbarste Mensch der Welt... special thanks to Xell |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 16:52: |
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Hi Stephan!
1. Das Schneiden des Graphen mit der Asymptote kann auch im Falle einer echt gebrochenrationalen Funktion vorkommen.
Beispiel: f(x) = x/(x+1)
Hier ist die Asymptote, wie bei allen echt gebrochenrationalen Funktionen, offensichtlich fa(x) = 0. Somit kann man den Schnitt darstellen als:
x/(x-1) = 0 <=> x=0
Es liegt also genau ein Schnittpunkt vor, bei P(0/0). Dass Schnitte in den anderen Fällen vorliegen können, ist dir ohnehin klar.
2. Bei gleichem Grad von Nenner- und Zählerpolynom ergibt sich für die Asymptote eine Konstante (eine reelle Zahl, keine "gerade"!).
Dies ist in der Tat so, wie sich leicht zeigen lässt. Gehen wir von zwei Funktionen a(x), dies sei das Zählerpolynom, und b(x), dies sei das Zählerpolynom, mit gleichem Grad aus; diese unterscheiden sich nur durch die Koeffizienten, also:
a(x) = a*x^n + b*x^(n-1) +...
b(x) = a*x^n + b*x^(n-1) +...
Polynomdivision ergibt also:
a(x) : b(x) = a/a + c(x) ; c(x) ist der gebrochenrationale Anteil.
Die Asymptote ergibt also gerade eine Konstante; diese Konstante ist der Quotient der beiden Koeffizienten a und a der beiden höchsten Potenzen von a(x) und b(x).
Als Asymptote ergibt sich somit stets a/a.
Bsp: f(x) = (3x²-23x+12) / (2x²-4)
=> fa(x) = 3/2
Deine Vermutung mit dem zur x-Achse waagerechten Schaubild ist also hiermit verifiziert.
mfG, Xell :-) |
Stephan Lentzsch (Lendo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 23:35: |
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Hallo Xell,
kann ich die Gleichung
f(x)=x/(x+1)
nicht durch die Polynomendivision umformen in:
f(x)=1-1/(x+1) ???
In diesem Fall würde die waagerechte Asymptote x=1 und die Fkt eine unechte Gebr. rat. Fkt. sein.
1=x/(x+1) <=> x+1=x <=> 1=0 => keine Lösung,kein Schnitt
oder liege ich schon wieder falsch?
Ich danke Dir für Deine Mühe,
mfG, Stephan |
Xell
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 14:11: |
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Hi Stephan!
Völlig richtig, was du da machst! In meinem letzten Beitrag hat sich ein Fehler eingeschlichen. Die Asymptote ergibt sich, wie ich oben richtig geschrieben habe zu fa(x) = a/a, somit also in dem angegebenen Beispiel zu fa(x) = 1. Somit liegt, wie von dir richtig erkannt, kein Schnitt vor.
mfG, Xell :-) |
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