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Beitrag |
    
Maverick
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 10:15: | 
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Einem Halbreis mit dem Halbmesser r soll ein gleichschenkeliges Dreieck so umschrieben werden, dass seine Basis den Durchmesser des Halbkreises enthält. Wie groß ist die Höhe zu wählen, damit
(a) der Inhalt des Dreiecks ein MIN wird?
(b) der Schenkel des Dreiecks ein MIN wird? |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 12:27: |
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eine allgemeine Tangentengleichung für den 1.ten Quadranten in dem ein Kreis um den Ursprung liegt, ist hier Sinnvoll:
f:y=Ö(r2-x2)
f':y=-2*x/(2*Ö(r2-x2))=-x/Ö(r2-x2)
t:y=-x0/Ö(r2-x02)*(x-x0)+Ö(r2-x02)
Die halbe Basislänge erhält man, wenn man in der Tangentengleichung y=0 setzt und x ausrechnet; die Höhe, wenn man in sie x=0 einsetzt und y ausrechnet. x0 ist dabei ein Parameter, der angiebt, an welchem x-Wert die Tangente den Kreis berührt.
0=-x0/Ö(r2-x02)*(x-x0)+Ö(r2-x02) ® (Ö(r2-x02))2/x0=(x-x0) ® (r2-x02)/x0+x0=xb
yh=-x0/Ö(r2-x02)*(0-x0)+Ö(r2-x02)=(x02+(r2-x02))/Ö(r2-x02)=r2/Ö(r2-x02)
Für die Fläche gilt, dass sie die Höhe mal die halbe Basislänge ist:
F=yh*xb=(((r2-x02)/x0)+x0)*(r2/Ö(r2-x02))=((Ö(r2-x02)/x0)+x0/Ö(r2-x02))*r2
Muss weg zum Mittagessen; Rest kommt nachher. |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 14:59: |
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F'=r2*(((-2*x02/(2*Ö(r2-x02))-Ö(r2-x02))/x02)+((Ö(r2-x02)-(-2*x02/(2*Ö(r2-x02))))/(r2-x02)))=...=
(r4/(x2*Ö(r2-x02)*(r2-x02)))*(2*x02-r2)
Für eine Nullstelle der Ableitung ist nur der letzte Term wichtig, da der andere nie Null werden kann: (2*x02-r2)=0 ® x1=Ö2/2*r; x2=-Ö2/2*r, wobei x2 nicht im ersten Quadranten sein kann also irrelevant ist (stellt im Grunde das gleiche Dreieck dar nur das es aus der "Sicht" der linken Seite betrachtet wird...)
Der Flächeninhalt wird also bei einer Tangente beim x-Wert Ö2/2*r minimal (wirklich minimal, da F®¥ für x0®0 und für x0®r und da F stetig ist.).
Für ein Dreieck mit minimaler Schenkellänge muss d=Ö(xb2+yh2) minimal werden.
d=Ö((((r2-x02)/x0)+x0)2+(r2/Ö(r2-x02))2)=...=r3/(x0*Ö(r2-x02))
d'=(r3)/(x02*(r2-x02))*((-Ö(r2-x02)+(-2*x02)/(2*Ö(r2-x02))))=...=(2*x02-r2)*(r3)/(x02*(r2-x02)*Ö(r2-x02))
Der Term (2*x02-r2) ist der einzige der verschwinden kann ® x1=Ö2/2*r; x2=-Ö2/2*r, wobei x2 nicht zählt (siehe oben).
Man hat also wenn die Tangente beim x-Wert Ö2/2*r den Kreis berührt die kleinste Schenkellänge, da d=Ö(xb2+yh2) und da xb®¥, wenn x0®0, und yh®¥, wenn x0®r, also in beiden Fällen d®¥.
Durch Umformen: F=r4/(x0*Ö(r2-x02))
Vergleicht man F und d so stellt man fest, dass F=r*d; das ist anschaulich klar, denn die Grundseite des Rechtwinkligen Dreiecks x-Achse, y-Achse, Schenkel ist die Schenkellänge und die Höhe ist der Kreisradius, da ein Kreis mit Radius um den Ursprung die Grundseite tangiert. Zwei solche Dreiecke bilden das ursprüngliche gleichschenklige; also sieht man die Formel F=r*d leicht ein. |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 15:07: |
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Die Höhe erhält man mit der Formel yh=r2/Ö(r2-x02):
In beiden Fällen (maximale Fläche und maximale Schenkellänge) ist x0=Ö2/2*r.
Es folgt:
h=yh=r2/Ö(r2-(Ö2/2*r)2)=...=Ö2*r |
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