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Beitrag |
    
Tommy
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 16:12: | 
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1. Bestimme eine ganz rationale Funktion dritten Grades,so dass für den Graphen gilt :
a)W(1;2/3) ist Wendepunkt des Graphen von f,die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -2,an der Stelle 3 liegt ein relativer Extrempunkt vor.
b)An der Stelle 1 hat die Tangente die Steigung 4,eine relative Extremstelle ist 5,eine Wendestelle ist 10/3 ,eine Nullstelle ist 0 |
Lerny
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 21:29: |
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Hi Tommy
eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die Gleichung
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
a)
W(1;2/3) : f(1)=2/3 => a+b+c+d=2/3
f'(1)=-2 => 3a+2b+c=-2
f"(1)=0 => 6a+2b=0
f'(3)=0 => 27a+6b+c=0
6a+2b=0 <=> 2b=-6a <=> b=-3a
reduziert das Gleichungssystem wie folgt:
(1)-2a+c+d=2/3
(2)-3a+c=-2
(3)9a+c=0 =>c=-9a
in (2) einsetzen: -3a-9a=-2 <=> -12a=-2 <=> a=1/6
c=-9/6=-3/2
b=-3/6=-1/2
Alles in (1) einsetzen: -2/6-3/2+d=2/3 <=> -11/6+d=2/3 <=> d=2/3+11/6=15/6=5/2
f(x)=1/6*x³-1/2*x²-3/2*x+5/2
b)f'(1)=4 => 3a+2b+c=4
f'(5)=0 => 75a+10b+c=0
f"(10/3)=0 => 20a+2b=0
f(0)=0 => d=0
Folgendes Gleichungssystem ist zu lösen:
(1) 3a+2b+c=4
(2) 75a+10b+c=0
(3) 20a+2b=0 => 2b=-20a => b=-10a
in (1) und (2) einsetzen:
(4) -17a+c=4
(5) -25a+c=0
(4)-85): 8a=4 => a=1/2
b=-10a=-10*1/2=-5
Beide Werte in (1) einsetzen: 3/2-10+c=4 => -8,5+c=4 => c=12,5
f(x)=0,5x³-5x²+12,5x
mfg Lerny |
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