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Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Dezember, 1999 - 08:40: | 
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Kann mir mal jemand erklaeren, wie ich erkennen kann, wann bei einer Funktion eine Polstelle und/oder eine Luecke vorhanden sind ?
Gibt es dafuer eventuell eine Formel ? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Dezember, 1999 - 18:30: |
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Alle Nullstellen des Nenners sind Definitionslücken!!!!!! (Pol oder hebbare Def.l.)
Sei nun a Nullstelle des Zählers
Nun ist zu überprüfen, ob der Zähler an diesen Stellen Null ist
wenn ja: hebbare Definitionslücke
(N(a)=0 und Z(a) = 0 (denn dann kan man
den Linearfaktor (x-a) jeweils abspalten
und schließlich kürzen
wenn nein: Polstelle x=a
(N(a)=0 und Z(a) ungleich 0 |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Dezember, 1999 - 19:37: |
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Ganz so einfach ist es nicht!
Grund 1: Z.B hat
(x+1)/(x²+2x+1)
bei x = -1 eine Polstelle, obwohl der Zähler Null ist.
Grund 2: Bei einer Funktion wie
(e^(x+1)-1)/(x+1)
ist sowohl Zähler als auch Nenner bei x = -1 Null. Aber wie willst du im Zähler den Faktor (x+1) abspalten?
In den meisten Fällen hilft die Regel von De l'Hospital weiter. Sie besagt
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) für x->a.
Wenn du also prüfen willst, ob bei x = a eine Polstelle vorliegt und f(a) = g(a) = 0,
dann berechne f'(a) nud g'(a). Wenn f'(a) nicht Null, aber g(a) = 0, dann Polstelle. Wenn g(a) nicht Null, dann keine Polstelle. Wenn beides Null ist, musst du die Regel erneut anwenden.
Im obigen Beispiel ist f(x) = e^(x+1)-1, g(x) = x+1, a = -1. Es ist f(a) = g(a) = 0. Aber f'(a) = e^(a+1) = 1, g'(a) = 1. Also keine Polstelle. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 1999 - 18:55: |
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zu Grund 1: Das liegt daran, dass die Nullstelle des Zählers erster Ordnung, die des Nenners allerdings zweiter Ordnung ist
denn: f(x) = (x+1) / (x+1)² 0 1 /(x+1)
Man kann sagen, Der Linerafaktor x-1 verschwindet im Nenner nicht, obwohl man kürzen kann.
zu Grund 2: Mit meiner Aussage waren nur gebrochen rationale Funktionen mit POLYNOMEN gemeint, Exponential-/ Logarithmus- oder trigonometrische Funktione waren nicht gemeint |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 1999 - 18:57: |
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Korrektur:
f(x) = (x+1) / (x+1)² = 1 / (x+1)
(und nicht 0) |
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