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Raute

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Differentialrechnung » Extremwertaufgaben » Sonstiges » Raute « Zurück Vor »

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Mike
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Mai, 2001 - 21:20:   Beitrag drucken

Wer kann mir bei folgendem Beispiel helfen?

Unter allen Rauten von gegebenem Flächeninhalt A ist jene von größtem Umfang zu ermitteln. Wie gehe ich vor?

Die Zielfunktion ist ja A(a,h)=a*h, die Nebenbedingung u=4*a -> a=u/4. Wenn ich nun die Nebenbedingung in meine Zielfunktion einsetze, dann erhalte ich A(h)=u/4*h. Wenn ich dies ableite erhalte ich u/4. Wenn ich das jetzt 0 setze, erhalte ich u/4=0, also folglich ist u=0.

Irgendwas kann da wohl nicht stimmen... Wo liegt also mein Fehler?

PS: Die richtige Lösung sollte das Quadrat sein...
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Michael
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Mai, 2001 - 23:35:   Beitrag drucken

Woher hast Du die Formeln? Eine Raute ist ein Rechteck, das auf einer Ecke steht. Es gelten also die ganz normalen Formeln eines Rechtecks mit den Seiten a und b:
A=a*b ==>b=A/a
U=2a+2b=2a+2A/a
U´(a)=2-2A/a²=0 ==>2a²=2A ==>a²=A ==>a=wurzel(A) ==>a=Wurzel(a*b) ==>a=b ==>Quadrat!!!
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Rincewind77
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Mai, 2001 - 23:49:   Beitrag drucken

Leider falsch soweit!!

Nebenbedingung:
A= a*h
h =a *sin(a) => A=a2*sin(a)
und folglich a=A/sin(a)
Hauptbedingung:
U=4*a=4*ÖA/sin(a)
(U2)'=16*A*cos(a)/sin(a)^2=0
<=> 16*A*cos(a)=0
<=> cos(a)=0
<=> (weil 0<a<P) a=P/2, also a=90° und die Raute ist ein Quadrat!
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Rincewind77
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Veröffentlicht am Freitag, den 11. Mai, 2001 - 23:52:   Beitrag drucken

Lieber Michael!
So leid es mir tut, aber ich muß dir mitteilen, dass eine Raute (auch Rhombus genannt!) KEIN Rechteck ist! Die Winkel sind i.A. nicht 90° und die Seiten sind alle gleich lang! Lernt man eigentlich in der 5. oder 6. den Klasse!

:-))
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Markus
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Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 08:58:   Beitrag drucken

Hallo Mike!

Ich bin mir zwar nicht ganz sicher, aber ich glaube schon, dass Du richtig gerechnet hast.

Aber Du hast einen entscheidenden Fehler gemacht: Du hast nämlich vergessen, die Randpunkte zu untersuchen. Da es keine Punkte im Inneren gibt, wie Du ja bereits nachgerechnet hast, muss das Maximum dieser Funktion am Rand liegen. Die Höhe h kann Werte zwischen 0 und a annehmen. 0 ist sinnlos und a ergibt dann das Quadrat.

PS: Selbst wenn man Werte im Inneres erhält, so muss man sie immer mit den Funktionswerten an den Rändern vergleichen.
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Rincewind77
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Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 09:50:   Beitrag drucken

kleiner Nachtrag zu meiner Lsg von zuerst:

Das Quadrat ist jene Raute, die bei vorgegebenem A den kleinsten Umfang hat (ich habe einfach angenommen, dass du (Mike) dich vertan hast mit der Angabe!), weil die Raute mit dem größtem Umfang existiert nicht!
BSP: Nehmen wir an A=4 cm2
=> (a=90°) a=2 cm => U=8 cm (kleinstmöglicher Umfang!)
bzw.
=> (a=45°) a=2.378 cm => U=9.51365 cm
oder
=> (a=10°) a=4.7994 cm => U=19.1979 cm

also je kleiner der Winkel, umso größer bei konstantem A der U (für U=1000 (<=> a=250), A=4 bekommt man a=0.003667° !!!).

PS: Auch du, Markus, liegst falsch, weil im "Inneren", wie du es nennst, ziemlich viele Fälle liegen, für die der Umfang sehr groß wird!
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Markus
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Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 10:11:   Beitrag drucken

Habe mich bloß geirrt bezüglich dem größten Quadrat. Natürlich kann bei diesem Beispiel nur die Raute mit dem kleinsten Umfang gefragt sein. Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass man auch den Rand untersuchen muss!

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