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DAB268
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 15:48: | 
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fk sei eine Schar ganzer rationaler Funktionen 3.Grades. Die zugehörigen Graohen gehen durch den Nullpunkt, haben ihre Tiefpunkte bei x=3k(mit k>0) und in den Wendepunkten W(2k/yw) die Steigung -k/2.
Ermitteln sie den Term f2(x), diskutieren sie die Funktion f2 und zeichnen sie den Graphen! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 17:26: |
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Hi DAB268,
Ansatz für fk:
y = a x^3 + b x^2 + c x
Gesucht werden die Koeffizienten a , b und c , ausgedrückt durch k.
Die Konstante d ist null , da der Graf durch den Nullpunkt geht.
Wir ermitteln die Ableitungen y' und y'':
y ' = 3 a x^2 + 2 b x + c
y '' = 6 a x + 2 b
Es gelten die folgenden drei Gleichungen:
(1): 27 a * k^2 + 6 b * k + c = 0 , wegen y'(3k) = 0; Tiefpunkt
(2): 12 a * k + 2 b = 0 ,................... wegen y''(2k) = 0 ,Wendestelle
(3): 12 * a* k^2 + 4 * b * k + c = - ½ * k, wegen y'(2k) = - k/2 als.......
......................................................................Steigung der Wendetangente
Wir subtrahieren: (1) - (3) und erhalten:
(I) 15 a k^2 -12 a k^2 = ½ * k Division mit k (nicht null) gibt
(II) a = 1 / (6k)
Aus (2) berechnen wir
b = -1 und schliesslich mit (1):
c = - 27 a * k^2 - 6 b*k = .....= 1 / (4*a) = 3 /2 * k
Die Gleichung der kubischen Funktion lautet:
y = fk(x) = 1/(6k) * x ^ 3 - x ^ 2 + 3 / 2 * k * x
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Dass bei x = 3k ein Minimum vorliegt,
sehen wir an der zweiten Ableitung an dieser Stelle;
es gilt: y''(3k) = 1 > 0 für alle k
Speziell zu untersuchen ist nun
f2(x) = 1/12 * x^3 - x^2 + 3*x
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Das ist eine Routineangelegenheit, die ich Dir getrost überlasse.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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