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DAB268
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 10:25: | 
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Der Graph einer einer ganzrationalen Funktion 3. Grades f hat den Punkt W(0/-1) als Wendepunkt und berührt die Parabel zu g(x)=2x²-4x in deren Scheitelpunkt.
Kann mir jemdand sagen, wie die Funktion f(x) lautet? |
Lerny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 10:40: |
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allgemeine Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades
f(x)=ax³+bx²+cx+d
Ableitungen bilden
f'(x)=3ax²+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
W(0/-1): f(0)=-1 => d=-1
f"(0)=0: 2b=0 => b=0
Scheitelpunkt der Parabel y=2x²-4x=2(x²-2x)=2(x²-2x+1-1)=2(x-1)²-2
S(1/-2) => f(1)=a+b+c+d=-2
Berühren bedeutet gleiche Steigung f'(1)=0 => 3a+2b+c=0
Gleichungssytem
(1) d=-1
(2) b=0
(3) a+b+c+d=-2
(4) 3a+2b+c=0
(1) und (2) in (3) bzw. (4) einsetzen
(5) a+c-1=-2 => a+c=-1
(6) 3a+c=0
(6)-(5) => 2a=1
=> a=1/2
1/2+c=-1 => c=-3/2
f(x)=1/2*x³-3/2*x-1
mfg Lerny |
DAB268
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 10:52: |
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Danke Lerny, da kann ich jetzt ja weiterrechenen, hatte das auch so, die geht nämlich noch ne Ecke weiter die Aufgabe.
z.B kommt jetzt
-Diskutieren sie die Funktionnen f(x) und g(x)
-Berechnen sie die ;Maßzahl der Fläche, diedie Graphen von f ung g einschliesen
-Für welche Zahl x Element[1;2] nimmt die Differenz der Fuhnktionswerte von g und f ein absolutes Maximum an?
DA hab ich noch einiges zu rechnen |
DAB268
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 11:16: |
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DAs Mximum von der Differnz g und f müsste doch nahc möglichkeit ein Schnittpunkt sein, oder wie soll das gehen? |
DAB268
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 11:18: |
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Und wie geht das mit der Maßzahl der Flächen genau?
Intagral von |f(x)| + |g(x)| |
Lerny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 12:11: |
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Maximum der Differenz von f und g
ist die 1.Ableitung von h(x)=f(x)-g(x) gleich 0 gesetzt, also das Maximum der Funktion h.
Flächeninhalt zwischen beiden Graphen;
also Schnittpunkte ermitteln und dann Integral über dem Intervall von |f(x)-g(x)|
mfg Lerny |
buh
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 12:24: |
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Hi,Lerny; die Diskussion von f und g überlasse ich dir; das ist eigentlich 'ne reine Übung. Aber zur Kontrolle die Lösungen für f: Nullstellen bei -1 und 2; -1 ist gleichzeitig lokales Maximum; lokales Minimum ist 1; an der Stelle x=0 findet sich eine Wendestelle.
Zum Weiteren: Maßzahl der eingeschlossenen Fläche: Zunächst mittels Gleichsetzen f(x)=g(x) die Schnittpunkte bestimmen; dazu das Ganze so umformen, dass auf einer Seite Null steht; dann ist das Problem umgewandelt in ein Nullstellenproblem (allerdings auch dritten Grades). Da ein Schnittpunkt (Scheitel von g mit x=1) bekannt ist, kann man mittels Polynomdivision (durch x-1) eine Gleichung zweiten Grades erzeugen; die liefert als zweiten Schnittpunkt x=2.
Die Fläche berechnet sich als Betrag des Integrals von 1 bis 2 über die Differenzfunktion f(x)-g(x); ein haarsträubendes Ergebnis (rund 0,04; wer denkt sich solche Aufgaben aus??)
Nebenbei ein Tip: Meist sind in solch komplexen Aufgaben (ungewollt) Lösungen versteckt, einfach weil alles aufeinander aufbaut; hier hat man im dritten Teil die Lösungen 1 und 2 des Schnittpunktproblems (Sowas ist, wenn man es weiß, eine innere Bestätigung für jeden Schüler).
Zum letzten Teil: Annehmen eines Maximums der Differenz von f und g heißt nur: Irgendwo zwischen 1 und 2 existiert ein größter Abstand zwischen den beiden Graphen, d.h. die "neue" Funktion f(x)-g(x) hat im Bereich [1;2] ein lokales Maximum/Minimum (das ist egal, da der Abstand zwischen den Funktionswerten der Betrag der Differenz ist); an den Rändern ist die Differenz ja Null wegen der Schnittpunkte. Du bildest also die neue Funktion f(x)-g(x) und suchst lokale Extrema. (Lösung: x=5/3 (fünf Drittel))
Gruß von buh aus dem buhniversum |
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