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Beitrag |
    
Katinka
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 20:20: | 
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Ich brauche bitte dringend Hilfe zu folgender Aufgabe:
Von einer Kostenfunktion weiß man, daß sie im Intervall (0;10) durch eine ganz-rationale Funktion 3. Grades beschrieben werden kann und daß die Wertepaare (0/100), (1/138), (2/158) und (10/390) die Funktionsgleichung erfüllen. Bestimme die Funktionsgleichung und skizziere deren Graphen.
Mit vielen Dank im voraus. |
Dea (Dea)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 00:02: |
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Hallo Katinka,
was Du brauchst ist eine Interpolation (so heißt das, wenn man die Punkte hat und die Funktion sucht). Da gibt es prinzipiell 2 Möglichkeiten, nach Lagrange und nach Newton. Ist aber nicht unbedingt Schulstoff, oder?
Also, einfacher ist nach Newton.
1. f(x0) = a0 = y0
(x0|y0) = (0|100) einsetzen:
a0 = 100
2. f(x1) = a0 + a1(x1 - x0) = y1
zusätzlich (x1|y1) = (1/138) einsetzen:
100 + a1(1 - 0) = 138
damit ist a1 = 38
3. f(x2) = a0 + a1(x2 - x0) + a2(x2 - x0)(x2 - x1) = y2
zusätzlich (x2|y2) = (2/158) einsetzen:
100 + 38(2 - 0) + a2(2 - 0)(2 - 1) = 158
100 + 76 + 2a2 = 158
2a2 = -18
a2 = -9
4. f(x3) = a0 + a1(x3 - x0) + a2(x3 - x0)(x3 - x1) + a3(x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2) = y3
zusätzlich (x3|y3) = (10/390) einsetzen:
100 + 38(10 - 0) - 9(10 - 0)(10 - 1) + a3(10 - 0)(10 - 1)(10 - 2) = 390
100 + 380 - 810 + 720a3 = 390
720a3 = 720
a3 = 1
Damit bekommt man a0 = 100, a1 = 38, a2 = -9 und a3 = 1
Setzt das ein in
f(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)(x - x1) + a3(x - x0)(x - x1)(x - x2)
erhält man
f(x) = 100 + 38(x - 0) - 9(x - 0)(x - 1) + 1(x - 0)(x - 1)(x - 2)
wenn man jetzt noch ausmultipliziert, ist man fertig:
f(x) = 100 + 38x - 9(x2 - x) + x(x2 - 3x + 2) =
100 + 38x -9x2 + 9x + x3 - 3x2 + 2x =
x3 - 12x2 + 49x + 100
Ich hoffe, das hat Dir geholfen.
Gruß, Dea |
buh
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 07:22: |
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Hallo, Katinka, es geht auch anders: Die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades ist f(x)=ax3+bx2+cx+d. Durch Einsetzen der Punktkoordinaten erhält man vier Gleichungen:
1.10=0a+0b+0c+d ; also d=10: (Das lässt sich sofort in den übrigen drei Gleichungen verwenden.)
2. 138=1a+1b+1c+10
3. 158=8a+4b+2c+10
4. 390=1000a+100b+10c+10
Mit den letzten drei Gleichungen hast du ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich die Werte für a, b, c ermitteln lassen (Einsetzungs- oder Additionsverfahren)
Gruß von buh aus dem buhniversum |
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