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Ursula (Ursula21)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 20:00: | 
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1)In die Ellipse x²/a²+y²/b²=1 ist ein gleichschenkeliges Dreieck zu zeichnen, dessen Basis paralell zur Hauptachse liegt. Wie groß sind Basis und Höhe des Dreiecks zu wählen, damit der Inhalt ein Maximum wird?
2)
In die Ellipse x²/a²+y²/b²=1 ist ein gleichschenkeliges Dreieck zu zeichnen, dessen Basis paralell zur Nebenachse liegt. Wie groß sind Basis und Höhe des Dreiecks zu wählen, damit der Inhalt ein Maximum wird? |
Andra
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 00:33: |
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Hallo Ursula,
hier mal eine Ansatz-Überlegung.
Damit das Dreieck maximal wird, sollte die Spitze auf dem Schnittpunkt der Ellipse mit der y-Achse liegen, wenn man den unteren wählt sind das die Koordinaten (0|-b). Da das Dreieck gleichschenklig ist, liegen die beiden oberen Eckpunkte dann auf einer Geraden parallel zur x-Achse. Seien deren Koordinaten (x0|y0) und (-x0|y0).
Dann ist der zu maximierende Flächeninhalt des Dreiecks
A = (y0 + b)x0
Setzt man die Nebenbedingung x02/a2 + y02/b2 = 1 ein und leitet ab, so kommt man mit dem Extremum auf die Lösung. Diese Rechnung ist allerdings nicht ohne.
Die zweite Aufgabe geht dann analog.
Ciao, Andra |
Andi Novak (Andyn)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 13:24: |
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Ich habe genau dieselben 2 Beispiele zu lösen, habe aber folgendes problem:
Wenn ich alles auswuadriert habe udn die erste Ableitung mache, komme ich nicht weiter. Nur wenn ich noch eienn zweite Ableitung mache, kommt das richtige Ergebnis raus.
Ist die zweite Ableitung bei einem solchen Beispiel möglich?
Bitte um baldige Antwort,
Andi |
Lerny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Mai, 2001 - 09:38: |
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Hi Andi,
Zielfunktion: A(x0,y0)=(y0+b)x0
Nebenbedingung: x0²/a²+y0²/b²=1
Nebenbedingung nach x0 oder y0 umformen; ich wähle x0:
x0²/a²+y0²/b²=1 |*a²b²
x0²b²+y0²a²=a²b² |-y0²a²
x0²b²=a²b²-y0²a² |:b²
x0²=a²-a²/b²y0²
x0=Ö(a²-a²/b²y0²)
Diesen Wert für x0 in die Zielfunktion einsetzen:
A(y0)=(y0+b)Ö(a²-a²/b²y0²)
A'(y0)=[1*Ö(a²-a²/b²y0²)]+(y0+b)*(-2a²y0)/[2b²Ö(a²-a²/b²y0²)]=0
Ö(a²-a²/b²y0²)-[(y0+b)a²y0]/[b²Ö(a²-a²/b²y0²)]=0
Rechenschritt: *b²Ö(a²-a²/b²y0²)
b²(a²-a²/b²y0²)-(y0+b)a²y0=0
a²b²-a²y0²-a²y0²-a²by0=0
-2a²y0²-a²by0+a²b²=0 | : (-2a²)
y0²+b/2y0-b²/2=0
Jetzt mit p-q-Formel auflösen; ergibt
y01=b/2
y02=-b
Mit 2. Ableitung auf Max überprüfen.
Noch x0 bestimmen.
y0+b ist dann die Höhe und 2*x0 die Basis.
Fertig.
Doch rechne es bitte nach, könnten sich Tippfehler eingeschlichen haben.
mfg Lerny |
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